Như các bạn đã biết, đường trung tuyến là một kiến thức rất quan trọng trong chương trình hình học lớp 7. Vậy thế nào là đường trung tuyến của tam giác? Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác như thế nào và nó có các điểm đặc biệt gì? Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu trong bài viết này nhé.
1. Đường trung tuyến của tam giác là gì?
Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
Ví dụ: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP.
2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Cụ thể, trong tam giác ABC (hình 4.1), các đường trung tuyến AM, BN, CP cùng đi qua điểm G (hay còn gọi là đồng quy tại điểm G) và ta có:
Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
3. Các dạng bài tập cơ bản về đường trung tuyến của tam giác lớp 7
3.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng là đường trung tuyến của tam giác
Bài 1: Cho tam giác MNP cân tại M, có MH vuông góc với NP. Chứng minh MH là đường trung tuyến của tam giác MNP.
Bài 2: Cho tam giác DEF có M, N lần lượt là trung điểm của DE và DF. Biết FM và EN cắt nhau tại H. Chứng minh DH là đường trung tuyến của tam giác DEF.
3.2. Dạng 2: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác
Bài 1: Cho tam giác MNP, D là trung điểm của MN. Trên đoạn ND lấy điểm E sao cho NE = 2 ED. Điểm F thuộc tia đối của tia DE sao cho NF = 2 NE. Gọi K là trung điểm của PF và G là giao điểm của EK với MP.
a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác EFP.
b) Tính tỉ số
Bài 2: Cho tam giác ADP có hai đường trung tuyến DE và PF cắt nhau ở G. AG kéo dài cắt PD ở M. Chứng minh MP = MD.
3.3. Dạng 3: Đường trung tuyến của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác đều DEF có ba đường trung tuyến DM, EN, FP cắt nhau tại O. Chứng minh:
a) DM = EN = FP.
b) OD = OE = OF.
Bài 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
3.4. Dạng 4: Một số bài tập nâng cao về đường trung tuyến của tam giác
Bài 1: Cho hai đường thẳng aa' và bb' cắt nhau tại O. Trên aa' lấy ba điểm A, B, C sao cho OA = AB = BC, trên bb' lấy ba điểm E, M, N sao cho OE = OM = MN. Chứng minh rằng ba đường thẳng AE, BN và CM cùng đi qua một điểm.
Bài 2: Cho tam giác MNE, ba đường trung tuyến MP, NF, EA cắt nhau ở O. Chứng minh rằng 2 tam giác OEP, OFE có diện tích bằng nhau.
Trên đây là một số kiến thức trọng tâm liên quan đến tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác, hy vọng bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về đường trung tuyến đồng thời áp dụng được vào các bài toán liên quan. Chúc các em học thật tốt nhé.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang