Mặt cầu, khối cầu là những khái niệm cực kỳ quen thuộc trong hình học trung học. Tuy nhiên, không phải ai cũng nhớ chính xác được công thực tính diện tích mặt cầu, thể thích khối cầu. Thông qua bài viết đây, Hoàng Hà Mobile sẽ cung cấp công thức thể tích hình cầu để bạn có thể tham khảo và áp dụng trong các bài toán hình học.

Định nghĩa mặt cầu là gì? Khối cầu là gì? Hình cầu là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính thể tích hình cầu là gì thì bạn phải nắm rõ được các khái niệm và định nghĩa về mặt cầu, khối cầu và hình cầu. Trong không gian hình học ba chiều, khi một nửa hình tròn có tâm O, bán kính R quay một vòng xung đường kính có độ dài AB được cố định thì ra được một hình cầu. Trong đó bao gồm:

Phẩn nửa đường tròn khi quay là phần một mặt cầu.
Tâm O chính là tâm của hình cầu với bán kính là R của mặt cầu hoặc hình cầu đó.

Khái niệm mặt cầu là không gian tập những điểm cách đều tâm O hình câu với một khoảnh cách bán kính R không đổi. Trong trường hợp này nghĩa là R = OA. Hình cầu có tính chất là hình có một trục đối xứng là đường thẳng bất kỳ có thể giao nhau khi đi qua tâm của hình cầu. Lúc này, bạn chỉ cần xoay quả cầu xung quanh phần trục này ở bất kỳ góc độ nào cũng thấy được chính quả cầu này là chính nó.

Bên cạnh đó, phần mặt phẳng phản xạ được định nghĩa là mặt phẳng được cắt hình về được đề cập thông qua tâm của hình và chia quả cầu thành hai nửa bằng nhau.

Công thức xác định diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu là gì?

Dưới đây là công thức tính diện tích của mặt cầu và thể tích của hình cầu mà bạn nên biết:

Công thức xác định diện tích của mặt cầu

Theo định nghĩa trong hình học, diện tích của mặt cầu sẽ được xác định bằng 4 lần diện tích của hình tròn lớn hay tích 4 lần của hằng số Pi cùng với bán kính R được bình phương của khối cầu. Công thức tổng quát đó là: S= 4π. r^2=π.d2. Các yếu tố trong đó bao gồm:

S được định nghĩa là diện tích của mặt cầu.
r được định nghĩa là bán kính của mặt cầu hay của hình cầu.
d được định nghĩa là đường kính của mặt cầu hay của hình cầu.
π được định nghĩa là hằng số, có giá trị xấp xỉ 3.14.

Công thức xác định diện tích xung quanh của hình cầu

Để có thể xác định được diện tích xung quanh của hình cầu, bạn có thể áp dụng công thức: Sxq= 4πr^2. Các yếu tố trong công thức bao gồm:

Sxq được định nghĩa là phần diện tích xung quanh của hình cầu.
π được định nghĩa là hằng số, có giá trị xấp xỉ 3.14.
r được định nghĩa là bán kính của hình cầu.

Khi sử dụng công thức, này bạn chỉ cần nhân bán kính R hình cầu với 2, rồi được kết quả nhân với số π để có thể tính được diện tích S xung quanh của hình cầu.

Công thức xác định thể tích hình cầu

Về khái niệm hình học, thể tích của hình cầu hay còn gọi là khối cầu được xác định bằng bốn phần ba của số Pi nhân với bán kính lập phương của hình cầu. Do đó, để có thể tính được thể tích của khối cầu thì bạn chỉ cần phải tìm được bán kính của hình cầu hoặc đường kính hình cầu rồi áp dụng vào công thức V= 4/3 x π x r^3. Các yếu tố trong công thức bao gồm:

V được định nghĩa là thể tích của hình cầu có đơn vị m3.
π được định nghĩa là hằng số, có giá trị xấp xỉ 3.14.
r được định nghĩa là bán kính của hình cầu.
d được định nghĩa là bán kính của mặt cầu hay hình cầu.

Hướng dẫn chi tiết các bước tính thể tích hình cầu

Để tính được thể tích thì bạn cần thực hiện các bước cụ thể dưới đây:

Bước 1: Đầu tiên, viết ra công thức xác định thể tích của hình cầu ra giấy đó là: V = ⁴⁄₃π.r³.

Bước 2: Sau đó, bạn cần đọc thật kỹ đề bài để tìm bán kính của hình cầu. Nếu đề đã cung cấp thông tin bán kính sẵn thì chỉ cần ghi ra giấy. Tuy nhiên, nếu đề cho thông tin về đường kính của hình tròn thì bạn có thể sử dụng công thức thể tích V = 1⁄6π.d³ để tính. Bạn cũng có thể sử dụng phương pháp đường kính chia đôi để ra được kết quả bán kính rồi tiến hành áp dụng công thức ở bước 1.

Trong trường hợp khó hơn khi đề bài chỉ cho bạn thông tin về diện tích của mặt cầu S thì bạn hoàn toàn có thể tìm bán kính hình tròn bằng cách tiến hành lấy diện tích của mặt cầu chia cho 4pi. Sau đó, bạn sẽ tính căn bậc hai của kết quả vừa tính là ra được.

Bước 3: Tiếp theo, bạn chỉ cần tiến hành tính lũy thừa của bán kính r bằng việc sử dụng bán kính của hình tròn nhân ba lần chính nó hoặc nâng lên số mũ bằng ba.

Bước 4: Bạn sẽ thay thế giá trị của bán kính lũy thừa căn bậc ba vào công thức thể tích hình cầu để phương trình trở nên gọn hơn.

Bước 5: Tiến hành đặt hằng số pi vào trong phép tinh và nhân giá trị xấp xỉ 3.14 với 4/3 hoặc để nguyên ký hiệu π trong bài theo dạng đó là V= 4/3π là đã hoàn thành.

Vì sao diện tích của mặt cầu bằng 4 lần diện tích của hình tròn lớn?

Ngoài công thức tính thể tích hình cầu, một số người còn thắc mắc vì sao diện tích của mặt cầu được tính bằng 4 diện tích của hình tròn lớn. Theo lý thuyết, diện tích của mặt cầu là tổng của diện tích những hình tròn được tạo thành bề mặt của hình cầu. Do đó, nếu bạn nắm được công thức xác định diện tích của hình tròn thì bạn sẽ tính toán được phần diện tích của mặt cầu.

Công thức xác định diện tích của hình tròn đó là S= π. r^2, trong đó S được gọi là diện tích hình tròn, r được gọi là bán kính hình tròn. Khi xác định diện tích của mặt cầu, ta sẽ tính toàn bộ tổng của diện tích các hình trọn được tạo thành từ bề mặt của hình cầu. Mỗi hình tròn có trên bề mặt hình cầu sẽ có cùng bán kính nên có thể gọi bán kính của hình tròn ký hiệu R. Phần diện tích của hình tròn trên một bề mặt hình cầu được ký hiệu là S1= π. r^2.

Diện tích của phần mặt cầu có cấu tạo từ 4 hình tròn sẽ tạo ra một mặt phẳng. Bởi tất cả các hình tròn này đều có cùng một bán kính nên tổng diện tích của 4 hình tròn này sẽ bằng S1+S2+S3+S4= 4πR^2.

Chính vì vậy, có thể nói rằng diện tích của mặt cầu sẽ bằng 4 lần của diện tích của hình tròn lớn được xác định với công thức S = 4πR^2. Với công thức này đã có thể chứng minh được rõ ràng trong việc áp dụng định lý tính diện tích của mặt cầu.

Vì sao diện tích của mặt cầu bằng 4 lần hằng số π nhân bình phương bán kính R?

Ngoài công thức thể tích hình cầu được nêu trên thì một số người thắc mắc các bước tính diện tích của mặt cầu với công thức: S= 4π. r^2.

Đầu tiên, cần xác định được bán kính của hình cầu thông qua đường kính của hình cầu hoặc bán kính được đo trực tiếp.
Tiếp theo bán kính R bình hương bằng cách nhân 2 lần bán kính. Lưu ý, phần diện tích của mặt cầu là tổng tất cả diện tích các hình tròn lớn với cùng độ dài bán kính R.
Sử dụng công thức xác định diện tích của mặt cầu đó là S= 4π. r^2.
Cuối cùng sử dụng công thức trên tích nhân với số 4 và hằng số Pi cùng bình phương độ dài bán kính R để có thể tính được diện tích của mặt cầu.

Mối quan hệ giữa bán kính R và thể tích hình cầu

Thể tích hình cầu là lượng vật chất mà khối cầu chiếm giữ. Nó phụ thuộc vào bán kính của khối cầu. Bán kính là khoảng cách từ tâm khối cầu đến một điểm bất kỳ trên bề mặt của khối cầu. Công thức tính thể tích khối cầu là: V= 4/3 x π x r^3, có các yếu tố bao gồm:

V được định nghĩa là thể tích của khối cầu
r được định nghĩa là bán kính của khối cầu
π được định nghĩa là hằng số Pi với giá trị xấp xỉ là 3.14

Như vậy, nếu bán kính của khối cầu tăng gấp đôi thì thể tích khối cầu sẽ tăng gấp tám lần. Ví dụ, nếu bán kính của khối cầu là 1 cm thì thể tích của khối cầu đó là 4/3π cm³. Nếu bán kính của khối cầu tăng lên 2 cm thì thể tích của khối cầu sẽ tăng lên thành 64/3π cm³.

Có thể giải thích mối quan hệ này như sau: Khối cầu là một hình thể ba chiều, có bán kính là đường kính của nó. Bán kính càng lớn thì khối cầu càng lớn, thể tích của khối cầu cũng càng lớn. Do đó, thể tích của hình cầu tỉ lệ với khối của bán kính lập phương.

Công thức xác định thể tích của hình cầu có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

Về lĩnh vực toán học: Công thức này được sử dụng trong các bài toán về hình học không gian, chẳng hạn như tính thể tích của các vật thể có hình cầu, như quả bóng, trái đất,…
Kiến trúc: Công thức này được sử dụng trong thiết kế và xây dựng các công trình có hình cầu, ví dụ như hồ nước, bể chứa, vòi phun nước,…
Công nghệ xây dựng: Công thức này được sử dụng trong tính toán lượng vật liệu cần thiết để xây dựng các công trình có hình cầu như cầu, đường hầm,…
Vật lý: Công thức này được sử dụng trong tính toán khối lượng của các vật thể có hình cầu như chất khí, chất lỏng,…
Cơ học: Thể tích của hình cầu được sử dụng trong tính toán lực tác dụng lên các vật thể hình cầu có các tác động cơ học như quả bóng nảy lên khỏi mặt đất,..

Tổng kết

Thông qua bài viết trên bạn đã biết được công thức xác định diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu được thiết lập như thế nào. Bên cạnh đó, bạn cũng biết được cách xác định thể tích cuark hối cầu từng bước chi tiết và mối quan hệ của nó với các yếu tố khác có trong hình cầu. Hy vọng Hoàng Hà Mobile đã cung cấp những kiến thức quan trọng và bổ ích về toán học để bạn đọc có thể hiểu rõ và theo dõi.

Xem thêm:

Khối D07 gồm môn thi nào, ngành thi nào?
Công thức tính thể tích hình cầu và diện tích hình cầu