Đường thẳng và đoạn thẳng là hai khái niệm quan trọng trong hình học. Mặc dù chúng có những điểm tương đồng như đều là các đường thẳng, nhưng cũng có những điểm khác biệt.
1. Đường thẳng: Đường thẳng là một tập hợp gồm tất cả các điểm trên mặt phẳng đi qua hai điểm bất kỳ. Điều này có nghĩa là không có bất kỳ điểm nào trên đường thẳng mà không nằm trên hai đầu mút của nó. Đường thẳng không có độ dài và không bị giới hạn bởi điểm nào. Nó có thể kéo dài vô hạn về cả hai hướng.
2. Đoạn thẳng: Đoạn thẳng là một phần của đường thẳng mà bị giới hạn bởi hai đầu mút, có độ dài cụ thể và chỉ chứa các điểm nằm giữa hai đầu mút này. Các điểm nằm ngoài đoạn thẳng không thuộc về nó. Đoạn thẳng này có độ dài xác định và không thể mở rộng vô hạn cả hai hướng như đường thẳng.
Ví dụ minh họa:
Xét một đường thẳng trên mặt phẳng, nếu ta chọn hai điểm bất kỳ trên đường thẳng đó và kẻ một đoạn thẳng nối hai điểm đó, chúng ta sẽ có một đoạn thẳng. Đoạn thẳng này chỉ bao gồm các điểm nằm giữa hai điểm đã chọn ban đầu, không có bất kỳ điểm nào nằm ngoài đoạn thẳng đó. Trong khi đó, đường thẳng không bị giới hạn bởi hai điểm nào và có thể kéo dài vô hạn về cả hai hướng.
Tóm lại, đường thẳng và đoạn thẳng khác nhau ở việc đoạn thẳng là một phần của đường thẳng mà bị giới hạn bởi hai đầu mút và có độ dài xác định, trong khi đường thẳng không bị giới hạn và không có độ dài.

Điểm khác biệt giữa đường thẳng và đoạn thẳng là:
1. Đường thẳng:
- Đường thẳng là một tập hợp không giới hạn các điểm nằm trên cùng một đường.
- Đường thẳng không có điểm cuối và không có giới hạn.
- Đường thẳng có thể kéo dài vô tận ở cả hai hướng.
2. Đoạn thẳng:
- Đoạn thẳng là một phần của đường thẳng mà bị giới hạn bởi hai điểm cuối.
- Đoạn thẳng chỉ chứa các điểm nằm giữa hai điểm cuối và không bao gồm các điểm nằm ngoài khoảng này.
- Đoạn thẳng có độ dài xác định và có thể được đo bằng đơn vị chiều dài như mét hay centimet.
Tóm lại, đường thẳng là toàn bộ tập hợp không giới hạn các điểm nằm trên một đường, trong khi đoạn thẳng chỉ định được bởi hai điểm cuối và chỉ chứa các điểm nằm giữa hai điểm này.

Để phân biệt đường thẳng và đoạn thẳng, chúng ta cần hiểu về tính chất của mỗi loại. Dưới đây là những tính chất giúp phân biệt chúng:
1. Đường thẳng:
- Là tập hợp của tất cả các điểm nằm trên một đường không bị giới hạn.
- Không có đầu mút, nghĩa là đường thẳng có thể kéo dài vô hạn cả hai hướng.
- Đường thẳng là một khái niệm trừu tượng và không có chiều dài xác định.
2. Đoạn thẳng:
- Là một phần của đường thẳng mà bị giới hạn bởi hai điểm cuối gọi là đầu mút.
- Đoạn thẳng chỉ bao gồm các điểm nằm giữa hai đầu mút này, không bao gồm các điểm nằm ngoài đầu mút.
- Đoạn thẳng có chiều dài xác định và rõ ràng.
- Đoạn thẳng được xác định bằng cách gọi hai đầu mút của nó.
Tóm lại, điểm khác biệt quan trọng giữa đường thẳng và đoạn thẳng là tính có đầu mút và chiều dài xác định. Đường thẳng là không có đầu mút và không có chiều dài xác định, trong khi đoạn thẳng có hai đầu mút và chiều dài xác định.

Để biểu diễn đường thẳng và đoạn thẳng trong hệ trục tọa độ, chúng ta cần có hai điểm trên đường thẳng hoặc đoạn thẳng đó.
Để biểu diễn một đoạn thẳng, ta cần xác định hai điểm bắt đầu và kết thúc của đoạn thẳng đó. Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm bắt đầu A với tọa độ (x₁, y₁) và điểm kết thúc B với tọa độ (x₂, y₂). Ta có thể vẽ đoạn thẳng AB bằng cách nối hai điểm này bằng một đường thẳng thẳng đứng.
Để biểu diễn một đường thẳng, ta cũng cần xác định hai điểm trên đường thẳng nhưng không có sự giới hạn về phạm vi. Ví dụ, đường thẳng AB cũng có điểm bắt đầu A với tọa độ (x₁, y₁) và điểm kết thúc B với tọa độ (x₂, y₂). Ta cũng có thể vẽ đường thẳng AB bằng cách nối hai điểm này, nhưng đường thẳng này sẽ không bị giới hạn và có thể đi xa vô hạn.
Sau khi xác định được các điểm bắt đầu và kết thúc của đường thẳng hoặc đoạn thẳng, chúng ta có thể vẽ chúng trên hệ trục tọa độ. Trục hoành được biểu diễn bằng trục ngang và trục tung được biểu diễn bằng trục đứng. Các điểm trên đường thẳng hoặc đoạn thẳng sẽ có tọa độ tương ứng với vị trí của chúng trên hệ trục tọa độ.
Bằng cách sử dụng công cụ vẽ đồ thị trên máy tính hoặc giấy tờ, chúng ta có thể tạo ra biểu đồ với đường thẳng hoặc đoạn thẳng đã xác định trên hệ trục tọa độ.

The bài viết mentioned that a đoạn thẳng is defined as a part of a đường thẳng that is limited by two endpoints. These endpoints play a crucial role in defining the đoạn thẳng.
The điểm bắt đầu (starting point) marks the beginning or initial position of the đoạn thẳng. It is the first endpoint of the đoạn thẳng and represents the starting position of the segment.
The điểm kết thúc (ending point) marks the end or final position of the đoạn thẳng. It is the second endpoint of the đoạn thẳng and represents the final position of the segment.
Together, the điểm bắt đầu and điểm kết thúc help define the boundaries of the đoạn thẳng. They indicate the specific portion of the đường thẳng that is being considered as a segment. Without these endpoints, the đường thẳng would extend indefinitely in both directions.
Therefore, the điểm bắt đầu and điểm kết thúc are essential in determining the length, position, and boundaries of a đoạn thẳng within a đường thẳng. They are fundamental components in the definition and understanding of a segment.

Để xác định xem một điểm có nằm trên đoạn thẳng hay không, chúng ta có thể áp dụng hai phương pháp sau đây:
1. Sử dụng công thức kiểm tra tọa độ:
- Biết tọa độ của hai điểm cuối của đoạn thẳng A(x1, y1) và B(x2, y2).
- Nếu tọa độ của điểm cần kiểm tra là C(x, y), ta có thể áp dụng công thức kiểm tra:
- Nếu C nằm trên đoạn AB, tức là đúng giữa A và B thì phải thỏa mãn điều kiện:
min(x1, x2) = x = max(x1, x2) và min(y1, y2) = y = max(y1, y2).
- Nếu C không thỏa mãn điều kiện trên, tức là không nằm trên đoạn AB.
2. Sử dụng công thức tỉ lệ:
- Biết tọa độ của hai điểm cuối của đoạn thẳng A(x1, y1) và B(x2, y2).
- Nếu tọa độ của điểm cần kiểm tra là C(x, y), ta có thể áp dụng công thức tỉ lệ:
(x - x1) : (x2 - x1) = (y - y1) : (y2 - y1).
- Nếu tỉ lệ trên bằng với tỉ lệ giữa các tọa độ của hai điểm cuối A và B, tức là C nằm trên đoạn AB.
Với cả hai phương pháp này, nếu điểm C nằm trên đoạn thẳng AB thì tọa độ của điểm C sẽ thỏa mãn điều kiện được xác định.

Để tính chiều dài của một đoạn thẳng đã biết tọa độ của hai điểm đầu mút, ta có thể áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong hệ trục tọa độ. Cách tính chiều dài sẽ được thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Biểu diễn tọa độ hai điểm đầu mút của đoạn thẳng. Giả sử điểm đầu mút thứ nhất có tọa độ (x1, y1) và điểm đầu mút thứ hai có tọa độ (x2, y2).
Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai điểm đó bằng công thức:
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
Trong đó, d là chiều dài của đoạn thẳng.
Bước 3: Thực hiện tính toán theo công thức trên để tìm giá trị của d.
Ví dụ, nếu tọa độ của hai điểm đầu mút là A(3, 4) và B(7, 9), ta có thể tính chiều dài của đoạn thẳng AB như sau:
d = √[(7 - 3)² + (9 - 4)²]
= √[(4)² + (5)²]
= √[16 + 25]
= √[41]
≈ 6.4
Vậy chiều dài của đoạn thẳng AB là khoảng 6.4 đơn vị đo (đơn vị tùy thuộc vào hệ trục tọa độ được sử dụng).

Để một đoạn thẳng có thể đi qua ba điểm cố định không thẳng hàng, điều kiện cần và đủ là ba điểm đó phải không thẳng hàng và không thuộc cùng một đường thẳng.
Để kiểm tra xem ba điểm có thẳng hàng hay không, ta có thể sử dụng phương pháp tính diện tích tam giác. Nếu diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0, tức là ba điểm đó thẳng hàng. Nếu diện tích khác 0, tức là ba điểm không thẳng hàng.
Còn để kiểm tra xem ba điểm có thuộc cùng một đường thẳng hay không, ta có thể sử dụng phương pháp kiểm tra quan hệ đồng phẳng. Nếu ba điểm đó thỏa mãn quy tắc đồng phẳng, tức là nằm trên cùng một mặt phẳng, thì chúng thuộc cùng một đường thẳng.
Nếu cả hai điều kiện đều được thỏa mãn, tức là ba điểm không thẳng hàng và không thuộc cùng một đường thẳng, thì ta có thể tồn tại một đoạn thẳng đi qua ba điểm cố định đó.

Đoạn thẳng là một phần của đường thẳng nhưng khác với đường thẳng nếu không có giới hạn của hai đầu mút. Một đoạn thẳng chỉ bao gồm tất cả những điểm nằm giữa hai điểm cuối, trong khi đường thẳng không bị giới hạn và được kéo dài vô tận về cả hai hướng. Điều này có nghĩa là một đoạn thẳng có độ dài xác định, trong khi đường thẳng không. Ví dụ, nếu ta có một đường thẳng AB, thì đoạn thẳng AB chỉ là một phần của đường thẳng này và được xác định bởi hai điểm A và B.

Trong không gian ba chiều, cách biểu diễn và tính toán đường thẳng và đoạn thẳng khá tương tự so với không gian hai chiều, nhưng có một số khác biệt nhất định.
1. Biểu diễn đường thẳng: Trong không gian hai chiều, đường thẳng có thể được biểu diễn bằng một hệ phương trình tuyến tính với hai biến x và y. Tuy nhiên, trong không gian ba chiều, để biểu diễn một đường thẳng, chúng ta cần ba biến x, y và z và hệ phương trình tuyến tính với ba biến này.
2. Biểu diễn đoạn thẳng: Đoạn thẳng trong không gian ba chiều cũng được biểu diễn bằng cách sử dụng hai điểm đầu mút của đoạn, nhưng với ba tọa độ (x, y, z) cho mỗi điểm. Thông thường, chúng ta sử dụng công thức điểm giữa để tìm tọa độ của các điểm nằm giữa hai điểm đầu mút.
3. Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian ba chiều, khoảng cách giữa hai điểm trên đường thẳng hoặc đoạn thẳng được tính bằng công thức khoảng cách Euclid, tương tự như trong không gian hai chiều. Công thức này là:
khoảng cách = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
4. Tính toán góc giữa hai đường thẳng: Trong không gian ba chiều, để tính toán góc giữa hai đường thẳng, chúng ta cần sử dụng công thức góc giữa hai véc-tơ. Công thức này dựa trên tích vô hướng của hai véc-tơ và là:
cos(θ) = (A1 * A2 + B1 * B2 + C1 * C2) / (sqrt(A1^2 + B1^2 + C1^2) * sqrt(A2^2 + B2^2 + C2^2))
Trong đó, (A1, B1, C1) và (A2, B2, C2) lần lượt là các hệ số của đường thẳng thứ nhất và thứ hai.
Tóm lại, trong không gian ba chiều, cách biểu diễn và tính toán đường thẳng và đoạn thẳng có một số khác biệt so với không gian hai chiều. Việc sử dụng ba biến và công thức tính toán cụ thể sẽ giúp mô hình hóa và giải quyết các vấn đề liên quan đến đường thẳng và đoạn thẳng trong không gian ba chiều.