avatar

1.Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình bậc hai 

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 

Nếu là hai nghiệm của phương trình trên thì:

2.Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

#1. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm các phương trình dạng đặc biệt

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x = 1 và nghiệm còn lại là x = c/a.

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x = -1 và nghiệm còn lại là x = -c/a.

Cho phương trình x² + 3x − 4 = 0.

Ta thấy a = 1, b = 3 và c = −4 nên a + b + c = 1 + 3 − 4 = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 và x = c/a = − 4/1 = − 4.

Giải phương trình 5x² + 7x + 2 = 0.

Ta thấy rằng a = 5, b = 7 và c = 2 nên a − b + c = 5 − 7 + 2 = 0.

Vậy ta suy ra ngay phương trình đã cho có nghiệm x = −1 và x = − c/a = − 2/5.

Như vậy ứng dụng hệ thức Vi-ét giúp ta tính nhẩm nghiệm các phương trình có

a + b + c = 0 và a − b + c = 0.

#2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:

X² − SX+ P = 0

Tìm hai số u và v biết u + v = 15 và u.v = 36.

Giải.

Ta giải phương trình X² − SX+ P = 0 với S = 15 và P = 36.

Ta có pt sau:

X² − 15X+ 36 = 0

Giải phương trình bậc hai này, ta có: X = 12 hoặc X = 3.

Vậy u = 12 và v = 3 hoặc u = 3 và v = 15.

#3. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Ta biết rằng phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0.

Phương trình bậc hai có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0.

Giờ ta có các trường hợp xét dấu các nghiệm của pt bậc hai như sau:

Sau đây ta sẽ giải một vài ví dụ cụ thể để áp dụng hệ thức Vi-ét để xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Các bài tập dạng này thường có thêm tham số m.

Bạn phải chú ý rằng x là ẩn, còn m là tham số.

Cho phương trình

x² − 2(m − 3)x + 8 − 4m = 0 (1)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có 

  1. a) Có hai nghiệm trái dấu
  2. b) Có hai nghiệm phân biệt cùng âm
  3. c) Có đúng một nghiệm dương

Hướng dẫn giải:

  1. a) Ta có a = 1 và c = 8 − 4m.

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac 0 

⇔ 1. (8 − 4m) 0

⇔ 8 − 4m 0

⇔ 4m > 8

⇔ m > 2

  1. b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm ⇔ Δ’ > 0, P > 0, S 0

Δ’ > 0 ⇔  (m – 3)² – (8 – 4m) > 0

⇔ m² – 6m + 9 – 8 + 4m > 0

⇔ m² – 2m + 1 > 0

⇔ (m – 1)² > 0 ⇔ m ≠ 1 ( vì (m – 1)² ≥ 0 với mọi m)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có P = 8 – 4m

P > 0 ⇔  8 − 4m > 0 ⇔ 4m 8 ⇔  m 2

S 0 ⇔  2(m – 3) 0 ⇔ m – 3 0 ⇔  m 3

Vậy m 2 và m ≠ 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm.

  1. c) Phương trình có 1 nghiệm dương ta có thể hiểu theo 2 trường hợp:

TH1: Phương trình có nghiệm kép là nghiệm dương.

TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu thì sẽ có 1 nghiệm dương.

Ta giải 2 trường hợp như sau:

TH1: Xét Δ’ = (m – 1)² = 0 ⇔ m = 1.
Khi đó ta thay vào pt được:

x² + 4x  + 4 = 0 ⇔ (x + 2)² = 0 ⇔ x = -2 0 => loại

TH2: Pt (1) có 2 nghiệm trái dấu thì sẽ có 1 nghiệm dương nên từ câu a ta có:

m > 2.

Xem thêm:

Chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Cho phương trình

x² – 2(m + 2)x +4m = 0.

  1. a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
  2. b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình (1) không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải:

  1. a) Xét biệt thức Δ’ = b’² − ac = (m + 2)² − 4m = m² + 4 > 0 với mọi giá trị của m.

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

  1. b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Để viết được một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m ta làm theo hai bước:

Bước 1: Theo hệ thức Vi-ét viết tổng và tích hai nghiệm theo m.

Bước 2: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử m.

Ở hệ thức trên ta thấy nếu nhân 2 vào tổng thì được 4m + 4 rồi trừ đi tích sẽ mất 4m.

Suy ra 

Vậy là biểu thức trên không còn phụ thuộc m.

#4. Tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước

Tiếp theo đây là một ví dụ về áp dụng hệ thức Vi-ét để biểu diễn biểu thức theo hai nghiệm của phương trình đã cho.

Trước tiên các em cần biết cách biến đổi biểu thức đối xứng theo tổng và tích để áp dụng hệ thức Vi-ét.

Ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét.

Bước 2: Biến đổi biểu thức theo tổng và tích hai nghiệm rồi dùng hệ thức Vi-ét viết ở bước 1.

Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp:

Tuy nhiên, có đề bài sẽ yêu cầu biểu diễn các biểu thức không đối xứng.

Như ví dụ dưới đây.

Cho phương trình

x² − 2mx − 4m − 5 = 0 (1) 

  1. a) Giải phương trình (1) khi m = – 2.
  2. b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
  3. c) Gọi là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để:

Hướng dẫn giải:

  1. a) Với dạng này, ta thay m = -2 vào phương trình (1) rồi giải phương trình bậc hai, ta có:

x² + 4x +3 = 0 ⇔ (x + 3)(x + 1) = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = -1.

Vậy với m = -2 thì phương trình (1) có tập nghiệm là: S = {-3, -1}.

  1. b) Muốn chứng minh pt (1) luôn có nghiệm với mọi m ta phải chỉ ra Δ hoặc Δ’ > 0 với mọi m.

Ta có:

Δ’ = m² – (-4m – 5) = m² + 4m + 5 = (m + 2)² +1 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

  1. c) Do phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi m, nên ta gọi hai nghiệm của phương trình (1) là

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Ta có:

Do là nghiệm của (1) nên 

Ta có:

⇔ 2.2m = 1524000

⇔  m = 381000

Vậy m = 381000 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Cho phương trình

x² – 2mx +2m – 1 = 0

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Muốn chứng minh phương trình luôn có nghiệm ta chỉ ra Δ ≥ 0 (hoặc Δ’ ≥ 0).

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Hướng dẫn:

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Ta có: 

Vậy m = 3/2 hoặc m = -1/2 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Cho phương trình

x² – 6x + m = 0

Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

Hướng dẫn giải:

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Ta kết hợp với điều kiện 

Ta giải hệ phương trình:

Vì nên m = 8. (-2) = -16.

Vậy m = -16 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

3.Mọi người cũng hỏi

Lý thuyết hệ thức Vi-ét là gì?

Lý thuyết hệ thức Vi-ét là một lĩnh vực trong đại số, nghiên cứu về hệ thức và bất đẳng thức đa biến và tác động của chúng. Nó được đặt tên theo nhà toán học người Pháp, Alexandre-Théophile Vandermonde và Joseph-Louis Lagrange.

Hệ thức và bất đẳng thức là những khái niệm chính trong lý thuyết hệ thức Vi-ét?

Đúng, hệ thức và bất đẳng thức là hai khái niệm chủ yếu trong lý thuyết hệ thức Vi-ét. Hệ thức là một phương trình có chứa nhiều biến, còn bất đẳng thức là một mệnh đề so sánh giá trị của các biểu thức số học.

Lý thuyết hệ thức Vi-ét được ứng dụng trong lĩnh vực nào?

Lý thuyết hệ thức Vi-ét có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như tối ưu hóa, tài chính, xác suất và thống kê, vật lý, kỹ thuật, và nhiều bài toán trong khoa học và công nghệ.

Tại sao lý thuyết hệ thức Vi-ét quan trọng trong toán học và ứng dụng của nó?

Lý thuyết hệ thức Vi-ét là một phần quan trọng trong đại số và có vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán thực tế phức tạp. Các phương pháp và kỹ thuật trong lý thuyết hệ thức Vi-ét giúp tối ưu hóa các quyết định và giải quyết các bài toán thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau.