Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT.

1. Một số công thức lượng giác cần nhớ

- Hệ thức lượng giác cơ bản:

2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng trong đó m, n là các số tự nhiên.

Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.

Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.

2. Dạng ;

; ;

.

Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.

3. Dạng trong đó m, n là các số nguyên.

4. Đổi biến số với hàm lượng giác.

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1: Tìm .

Lời giải

Vì lũy thừa của là số lẻ nên ta đổi biến

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm

a.

b.

Lời giải

a. Do lũy thừa của cosx là số nguyên dương chẵn nên đặt u = tanx. Từ công thức tổng quát đã chứng minh ở trên ta có:

b. Do lũy thừa của là một số lẻ nên ta đặt , do vậy, từ công thức tổng quát chứng minh ở trên ta có

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) thỏa mãn Biết rằng f(0) = 2. Giá trị của là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Tìm công thức sai:

A.

B.

C.

D.

Câu 2. Tìm nguyên hàm của: với là:

A.

B.

C.

D.

Câu 3. bằng:

A.

B. -4

C. 4

D. 2

Câu 4. bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 5. bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 6. Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây:

A.

B.

C.

D.

Câu 7. Tìm nguyên hàm:

A.

B.

C.

D.

Câu 8. Cho . Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và

A.

B.

C.

D.

Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số

A.

B.

C.

D.

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số là:

A. Đáp án khác

B.

C.

D.

Câu 11. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A. và

B. và

C. và

D. và

Câu 12. Một nguyên hàm của hàm số là:

A.

B.

C.

D.

Câu 13. Họ nguyên hàm của

A.

B.

C.

D.

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số là:

A.

B.

C.

D.

Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số là

A.

B.

C.

D.

Câu 16. Tính

A.

B.

C.

D.

Câu 17. bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 18. bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 19. Nguyên hàm F(x) của hàm số thỏa mãn là:

A.

B.

C.

D.

Câu 20. Nguyên hàm F(x) của hàm số thỏa mãn là:

A.

B.

C.

D.

Câu 21. Cho hàm số . Nguyên hàm của hàm số bằng 0 khi là hàm số nào trong các hàm số sau ?

A.

B.

C.

D.

Câu 22. bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 23. Nguyên hàm của là:

A.

B.

C.

D.

Câu 24. bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 25. bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 26. bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số là

A.

B.

C.

D.

Câu 28. Nguyên hàm của hàm số: là:

A. F(x) =

B. F(x) =

C. F(x) =

D. F(x) =

Câu 29. Biểu thức nào sau đây bằng với ?

A.

B.

C.

D.

Câu 30. Đổi biến x = 2sint tích phân trở thành

A.

B.

C.

D.

Đáp án