Công thức tính thể tích khối cầu và diện tích hình cầu là kiến thức mà các bạn học sinh cần phải nắm vững để chuẩn bị cho những kỳ thi sắp đến. Việc nắm rõ công thức này cũng giúp bạn ôn thi và làm bài tập nhanh chóng hơn. Nếu các bạn vẫn chưa hiểu rõ về hình cầu và những công thức xung quanh nó thì có thể tìm hiểu qua bài viết sau đây.
Hình cầu, mặt cầu là gì?
Trước khi tìm hiểu thể tích khối cầu, diện tích khối cầu thì chúng ta phải tìm hiểu về hình cầu, mặt cầu. Trong không gian 3 chiều theo toán học thì khi chúng ta quay 1 nửa hình tròn (với tâm là O và R là bán kính) quanh 1 đường kính cố định có tên là AB thì chúng ta sẽ nhận được một hình cầu:
- Nửa hình tròn của phép quay ở trên chính là một mặt cầu.
- O được coi là tâm của hình cầu và R chính là bán kính trong mặt cầu hay hình cầu đó.
Mặt cầu gồm những điểm nằm cách tâm O của hình cầu một khoảng cách cố định đã cho sẵn và không đổi. Đây chính là bán kính R và R = OA.
Ngoài ra hình cầu còn một số tính chất như sau:
- Bất cứ đường thẳng giao với hình cầu rồi đi ngang qua tâm hình cầu đều là trục đối xứng trong hình cầu. Lúc đó khi quay một quả cầu đi quanh trục đối xứng dù ở góc nào cũng khiến nó trở thành chính nó.
- Mặt phẳng phản xạ trong hình cầu là mặt phẳng có thể cắt hình cầu đi ngang qua tâm hình cầu và chia hình này ra 2 phần như nhau.
Sau khi đã tìm hiểu sơ lược về hình cầu và mặt cầu thì tiếp theo các bạn hãy tìm hiểu công thức dùng để tính toán diện tích và thể tích hình cầu như sau:
Công thức dùng để tính toán diện tích (S) của mặt cầu
Theo khái niệm ở trên thì S mặt cầu gấp 4 lần S của hình tròn to hoặc gấp 4 lần Pi (π) đem nhân với bán kính bình phương thuộc hình cầu.
Như vậy cách tính diện tích của mặt cầu là: S = 4π x r^2 = π x d^2
Trong đó:
- S: Diện tích của mặt cầu
- r: Bán kính của hình cầu/ mặt cầu
- d: Đường kính của hình cầu/ mặt cầu
- π: hằng số xấp xỉ 3,14
Công thức dùng để tính toán diện tích (S) hình cầu
Để tính toán được S hình cầu thì các bạn dùng công thức: Sxq = 4 x π x r^2
Trong đó:
- Sxq: Diện tích hình cầu
- π: Hằng số 3,14
- r: bán kính hình cầu
Công thức dùng để tính toán thể tích (V) của hình cầu
Để tính toán được thể tích khối cầu thì bạn cần tìm ra bán kính của hình cầu hoặc tìm đường kính của hình cầu. Tiếp đó thì bạn thay thế chúng cho công thức sau:
V = (4 x π x r^3)/ 3
Trong đó:
- V: Thể tích của hình cầu (m3)
- π: Giá trị gần bằng 3,14
- r: Bán kính của hình cầu
- d: Bán kính của hình cầu/ mặt cầu
Chú ý: Thể tích của hình cầu có đơn vị là khối (m3, cm3,…)
Hướng dẫn chi tiết phương pháp tính toán thể tích khối cầu
Sau đây là từng bước tính toán thể tích của hình cầu mà các bạn có thể tham khảo để giải các bài tập:
Bước 1: Viết vào giấy công thức tính V hình cầu
Lúc này bạn cần viết công thức V = (4 x π x r^3)/ 3 ra giấy để tiện cho việc tính toán từng thành phần trong công thức một cách chính xác.
Bước 2: Đọc kĩ đề bài, tìm bán kính
Tiếp đó thì bạn hãy đọc kỹ thông tin cho trong đề bài. Nếu đề bài đã có sẵn độ dài bán kính thì bạn tiếp tục ghi nó ra giấy. Nhưng đề bài mà cho sẵn đường kính thì mọi người có thể dùng công thức là V = 1/6 x π x d^3. Hoặc các bạn lấy độ dài đường kính của hình cầu đem chia cho 2 để tìm bán kính và dùng công thức tính thể tích khối cầu đã ghi ra ở bước 1.
Nếu bài toán khó hơn và chỉ cho sẵn dữ liệu về S của mặt cầu, các bạn sẽ tìm được bán kính của hình cầu bằng việc lấy S mặt cầu đem chia 4π. Sau đó thì bạn lấy kết quả này bỏ vào căn bậc 2 để tính. Cụ thể công thức tính bán kính hình cầu theo cách này là: r = √(S/4π).
Bước 3: Tích toán lũy thừa ở bậc ba của r
Tiếp theo bạn hãy tính toán lũy thừa ở bậc ba của r bằng việc lấy bán kính đi nhân 3 lần cho chính nó hoặc bạn có thể nâng bán kính lên một số có mũ 3.
Chẳng hạn: (2cm)^3 = 2cm x 2cm x 2cm = 8
(3cm)^3 = 3cm x 3cm x 3cm = 27
Bước 4: Nhân số lũy thừa ở bậc ba của r cho 4/3
Sau đó, các bạn thay thế kết quả r^3 đã tính vào V = (4 x π x r^3)/ 3 cho công thức gọn hơn. Chẳng hạn bán kính của hình cầu là 1 cm thì ta có thể tích là V = 4/3 x π x 1 hoặc V = 4/3π
Bước 5: Bạn nhân kết quả ở trên với số Pi cụ thể
Sau cùng, bạn hãy đặt số Pi cụ thể vào công thức tính thể tích khối cầu và nhân 3,14 với 4/3. Hoặc bạn có thể đặt luôn số π trong kết quả theo kiểu V = 4/3π là hoàn tất.
Chẳng hạn V = 4/3 x 3,14 = 4,19 cm3. Vậy thì kết luận thể tích hình cầu có bán kính là 1.
Một số bài toán về thể tích khối cầu, diện tích hình cầu kèm lời giải
Ngoài việc tìm hiểu công thức tính V hình cầu thì các bạn nên tìm hiểu thêm một số bài tập để áp dụng các công thức này.
Bài tập 1
Đề bài: Cho một đường tròn có tâm là O, độ dài bán kính = 9m. Bạn hãy tính S của hình cầu?
Đáp án: Đầu tiên, bạn lấy độ dài của bán kính thay cho công thức tính diện tích của mặt cầu là 4 x π x R^2 và được:
Diện tích = 4 x 3,14 x 9^2 = 1017,36 (m2)
Bài tập 2
Đề bài: Cho 1 đường tròn có tâm là O và độ dài đường kính = 2,5cm. Bạn hãy tính S của mặt cầu này?
Đáp án: Để tính được S của hình cầu trong đề bài trên thì bạn lấy độ dài của đường kính để thay cho công thức tính diện tích của mặt cầu là π x d^2 và được:
Diện tích = 3,14 x (2,5)^2 = 19,625 (cm2)
Bài tập 3
Đề bài: Cho 1 hình cầu với đường kính là 6cm. Tính diện tích của mặt cầu?
Đáp án:
Vì d = 6cm nên suy ra bán kính của hình cầu = d/2 = 3cm
Vậy S của mặt cầu trên là 4 x π x R^2 = 4 x π x 3^2 = 36π (cm2)
Bài tập 4
Đề bài: Hãy tính V khối cầu có độ dài đường kính là 4cm?
Đáp án:
r = d/2 = 2cm
Vậy thì V của khối cầu = 4/3 x π x r^3 = 4/3 x 3,14 x 2^3 = 33,49 (cm3)
Bài tập 5
Đề bài: Cho sẵn 1 mặt cầu có V là 288π cm3. Vậy đường kính của mặt cầu bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Vì V = 4/3 x π x r^3 = 288π nên suy ra bán kính của mặt cầu = 6cm.
Suy ra đường kính = 2r = 2 x 6 = 12 cm
Bài tập 6
Đề bài: Cho 2 mặt cầu với d là đường kính có độ dài bằng 1,5cm. Bạn hãy tính V của mặt cầu?
Đáp án:
Đường kính = 1,5cm nên suy ra R = 0,75 cm và cụ thể là bằng 7,5 x (10)^-3 (m)
Vậy thì thể tích của mặt cầu = 1/3 x π x R^3 = ⅓ x π x (7,5 x 10^-3)^3 = 4,42 x 10^-6 (m3)
Bài tập 7
Đề bài: Hãy tính thể tích hình cầu ngoại tiếp với hình học lập phương ABCD.EFGH có độ dài cạnh bằng 3cm?
Đáp án: Gọi bán kính của hình cầu ngoại tiếp với hình học lập phương là R. Như vậy ta có cạnh CE = AB x √3 = 3√3 (cm).
Từ đó suy ra bán kính = 1/2 CE = (3√3)/2 (cm)
Như vậy thể tích khối cầu = V = 4/3 x π x R^3 = 4/3 x π x ((3√3)/2))^3 = (27√3)/2 x π (cm3)
Bài tập 8
Đề bài: Cho một khối chóp có tên là S.ABC với đáy là 1 tam giác vuông ở A. Cạnh SA ⊥ (ABC) và AB = b, SA = a, AC = c. Một mặt cầu đi ngang qua những định S, A, C, B có độ dài bán kính là bao nhiêu?
Đáp án:
Ta gọi trung điểm thuộc cạnh BC là điểm M. Lúc này thì MA = MB = MC. Suy ra M chính là tâm của đường tròn có ngoại tiếp với tam giác ABC như hình.
Sau đó ta dựng cho đường Mt vuông góc với mặt phẳng ABC và ta được Mt song song với cạnh SA và Mt cũng chính là trục của đường tròn có ngoại tiếp với tam giác ABC.
Trong mặt phẳng được tạo bởi cạnh SA và Mt thì đường trung trực thuộc SA sẽ cắt đường Mt ở điểm I. Ta được:
- IA = IS và IC = IB = IA
- Từ đó suy ra IA = IB = IC = IS
- Suy ra I chính tâm của mặt cầu có ngoại tiếp với tứ diện tên S.ABC.
Vậy thì bán kính của mặt cầu là: R = IA = √AM^2 + MI^2. Trong đó:
- AM = BC/2 = 1/2 √AB^2 + AC^2 = 1/2 √b^2 + c^2
- MI = SA/2 = a/2
- Suy ra bán kính = √((b^2 + c^2)/4) + (a^2/4 ) = 1/2 √a^2 + b^2 + c^2
Một số bài toán tính thể tích khối cầu, diện tích khối cầu tự luyện
Sau đây là một số bài tập tính thể tích, diện tích hình cầu tự luyện mà các bạn có thể tham khảo thêm:
Bài 1: Cho 1 mặt cầu S gồm bán kính là r và 1 mặt cầu S’ gồm bán kính là r’. Biết rằng r’ = 2r. Vậy tỉ số về diện tích của mặt cầu S’ và S là bao nhiêu?
- S = 1/2
- S = 1/3
- S = 2
- S = 4
Bài 2: Cho khối cầu có bán kính là r, diện tích là S và thể tích khối cầu là V. Vậy sau đây công thức nào đã lập sai?
- S = πr^2
- S = 4πr^2
- S = 2πr^2
- S = 4/3πr^2
Bài 3: Cho 1 hình cầu có r là bán kính. Vậy S của mặt cầu là?
- S = 4πr^2
- S = 6πr^2
- S = 2πr^2
- S = πr^2
Bài 4: Cho 1 hình cầu có r là bán kính. Lúc đó thì V của hình cầu sẽ là?
- S = (4πr^2)/3
- S = (3πr^3)/4
- S = (4πr^3)/3
- S = (2πr^3)/3
Bài 5: Cho 1 tứ diện ABCD đều với cạnh đáy có độ dài là a. Hãy tính V hình cầu có ngoại tiếp với tứ diện này?
- (πa^3√6)/8
- (πa^3√6)/6
- (πa^3√6)/4
- (3πa^3√6)/8
Bài viết trên đã chia sẻ chi tiết về hình cầu và các công thức tính thể tích khối cầu, diện tích khối cầu cho mọi người tìm hiểu. Hy vọng các bạn học sinh sẽ nắm rõ các công thức trên và cách giải bài tập nhanh chóng. Đây là kiến thức giúp bạn học tốt hơn môn hình học ở lớp.
Tham khảo bài viết liên quan:
- Số nguyên tố là gì? Ví dụ minh họa, tính chất, bảng số nguyên tố
- Tính chất của trọng tâm và cách xác định trọng tâm tam giác trong Hình học