Bất đẳng thức Cosi được dùng thật nhiều trong số đề thi đua cao đẳng và ĐH. Do cơ, chúng ta cần thiết nắm rõ công thức bất đẳng thức cosi, cơ hội minh chứng bất đẳng thức cosi. Hình như, những bạn phải giải được những bài xích tập luyện tương quan cho tới bất đẳng thức cosi. Bài viết lách thời điểm ngày hôm nay sẽ hỗ trợ quý khách cũng cố kỹ năng về bất đẳng thức này.
1. Bất đẳng thức Cosi
Bất đẳng thức cosi xuất phát điểm từ bất đẳng thức thân ái tầm nằm trong và tầm nhân (AM – GM). Cauchy là kẻ tiếp tục sở hữu công minh chứng bất đẳng thức AM – GM bẳng cách thức quy hấp thụ. Do cơ, bất đẳng thức AM – GM được tuyên bố Theo phong cách không giống nhằm phát triển thành bất đẳng thức cosi.
Bạn đang xem: bất đẳng thức côsi
1.1 Bất đẳng thức AM – GM
Cho x1, x2,…, xn là n số thực ko âm, Khi cơ tớ có:
\[ \frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} \ge \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \]
Đẳng thức xẩy ra Khi và chỉ Khi x1 = x2 =… = xn
Bất đẳng thức này còn hoàn toàn có thể được tuyên bố bên dưới dạng
\[ {x_1+ x_2 + …, + x_n} \ge n \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \]
Hoặc
\[ (\frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n})^n \ge {x_1x_2…x_n} \]
1.2. Bất đẳng thức Cosi
Giả sử a1 ,a2,…, an là những số thực bất kì và b1, b2,…, bn là những số thực dương. Khi cơ, tớ luôn luôn có:
\[\frac{a_1^2}{b_1^2} + \frac{a_2^2}{b_2^2} + … + \frac{a_n^2}{b_n^2} \ge \frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n}\]
Đẳng thức xẩy ra Khi và chỉ Khi \[\frac{a_1^2}{b_1^2} = \frac{a_2^2}{b_2^2} = … = \frac{a_n^2}{b_n^2}\]
1.2.1. Bất đẳng thức cosi mang lại 2 số ko âm
\[ \frac{a + b} {2} \ge \sqrt {ab} \]
Dấu tự xẩy ra Khi và chỉ Khi a = b
1.2.2. Bất đẳng thức cosi mang lại 3 số ko âm
\[ \frac{a + b + c } {3} \ge \sqrt [3] {abc} \]
Dấu tự xẩy ra Khi và chỉ Khi a = b = c
1.2.3. Bất đẳng thức cosi mang lại 4 số ko âm
\[ \frac{a + b + c + d } {4} \ge \sqrt [4] {abcd} \]
Dấu tự xẩy ra Khi và chỉ Khi a = b = c = d
1.2.4 Bất đẳng thức cosi mang lại n số ko âm
Với x1, x2,…, xn là n số thực ko âm, Khi cơ tớ có:
\[ \frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} \ge \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \]
Đẳng thức xẩy ra Khi và chỉ Khi x1 = x2 =… = xn
2. Chứng minh bất đẳng thức cosi
2.1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi trúng với 2 thực số ko âm
Rõ ràng với a = 0 và b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn trúng (1). Ta chỉ việc minh chứng bất đẳng thức luôn luôn trúng với 2 số a, b dương.
\[ \frac{a + b} {2} \ge \sqrt {ab} \]
\[ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \]
\[ \Leftrightarrow a – 2\sqrt {ab} + b \ge 0\]
\[ (\sqrt {a} – \sqrt {b})^2 \ge 0\] (luôn trúng với từng a, b ≥ 0)
=> Bất đẳng thức tiếp tục mang lại luôn luôn trúng với từng a, b dương (2)
Từ (1) và (2) => bất đẳng thức cosi trúng với 2 số thực a, b ko âm.
2.2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 thực số ko âm
Rõ ràng a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn trúng. Do cơ, tớ chỉ việc minh chứng bất đẳng thức trúng với 3 số thực a, b, c dương.
Đặt \[ x = \sqrt [3] {a}, nó = \sqrt [3] {b}, z = \sqrt [3] {c} \]
=> x, nó, z ≥ 0 => => x + nó + z ≥ 0
Bất đẳng thức của 3 số thực a, b, c dương được quy về trở nên bất đẳng thức của 3 số thực x, nó, z dương.
\[ (x + y)^3 – 3xy(x + y) + z^3 – 3xyz \ge 0 \]
\[ (x + nó +z)[(x + y)^2 – (x +y)z + z^2]\]
\[ – 3xy(x + nó + z) \ge 0 \]
\[ (x + nó +z)(x^2 + y^2 + z^2 +2xy – xz – yz) \]
\[ – 3xy(x + nó + z) \ge 0 \]
Xem thêm: c%C3%A2y trong Tiếng Anh, dịch, Tiếng Việt
\[ (x + nó +z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – xz – yz) \ge 0 \]
\[ (x + nó +z)[(x – y)^2 + (y – z)^2 + (x – z)^2] \ge 0 \] (luôn trúng với từng x, nó, z ≥ 0)
Dấu “=” xẩy ra Khi x = nó = z hoặc a = b = c.
2.3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực ko âm
Ta dễ dàng và đơn giản nhìn thấy rằng với a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn trúng. Bây giờ tất cả chúng ta chỉ việc minh chứng bất đẳng thức trúng với 4 số thực dương.
Từ sản phẩm minh chứng bất đẳng thức trúng với 2 số thực ko âm tớ có:
\[ a + b + c + d \ge 2\sqrt [2] {ab} + 2\sqrt [2] {cd} \ge 4\sqrt [4] {abcd} \]
\[ \Leftrightarrow \frac{a + b + c + d } {4} \ge \sqrt [4] {abcd} \] (đpcm)
Ta còn rút rời khỏi được hệ quả:
Với \[ d = \frac{a + b + c} {3}\]
Thì bất đẳng thức về bên dạng bất đẳng thức cosi với 3 số thực dương.
2.4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm
Theo minh chứng phía trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn luôn trúng.
Nếu bất đẳng thức trúng với n số thì nó cũng giống với 2n số. Chứng minh điều này như sau:
\[ x_1+ x_2 + …, + x_n \]
\[ \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n} + n\sqrt [n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \]
\[ \ge 2n\sqrt [2n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \]
Theo quy hấp thụ thì bất đẳng thức trúng với n là một trong những lũy quá của 2.
Mặt không giống fake sử bất đẳng thức trúng với n số thì tớ cũng minh chứng được nó trúng với n-1 số như sau:
Theo bất đẳng thức cosi mang lại n số:
\[ x_1+ x_2 + …, + x_n \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n}\]
\[ x_n = \frac {s}{n – 1}, s =x_1 + x_2 + …, + x_n \]
=> \[ s \ge (n – 1) \sqrt [n – 1] {x_1x_2…x_{n – 1}} \]
Đây đó là bđt Cosi (n-1) số. Như vậy tớ sở hữu dpcm.
3. Bài tập luyện cơ phiên bản về bất đẳng thức cosi
Bài 1. Cho những số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.
Chứng minh rằng:
\[ \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} + \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} + \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} \le \sqrt{3} \]
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, tớ có:
(a2 + b + c)(1 + b + c) ≥ (a + b + c)2 . Do cơ, nhằm minh chứng bất đẳng thức tiếp tục mang lại, tớ chỉ việc minh chứng rằng:
\[ \frac {a \sqrt {1 + b + c} + b \sqrt {1 + c + a} + c \sqrt {1 + a + b}}{a + b + c} \le \sqrt{3}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cosi thứ tự loại nhì tớ thu được:
VT = \[ \frac { \sqrt{a}\sqrt{a(1 + b + c)} + \sqrt{b}\sqrt{b(1 + c + a)} + \sqrt{c}\sqrt{c(1 + a + b)}}{a + b + c}\]
\[ \le \frac { \sqrt{{(a + b + c)}[a(1 + b + c) + b(1 + c + a) + c(1 + a + b)] }} {a + b + c}\]
= \[ \sqrt{1 + \frac {2(ab + bc +ca)}{a + b + c}}\]
Xem thêm: máy giặt tiếng anh là gì
\[ \le \sqrt{1 + \frac {2(a + b +c)}{3}}\]
\[ \le \sqrt{1 + \frac {2 \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)}}{3}} = \sqrt{3}\] (đpcm)
Đẳng thức xẩy ra Khi và chỉ Khi a = b = c = 1.
4. Bài tập luyện nâng lên về bất đẳng thức cosi