bất đẳng thức cosi cho 3 số

Bất đẳng thức Cosi được dùng thật nhiều trong những đề thi đua cao đẳng và ĐH. Do cơ, chúng ta cần thiết nắm rõ công thức bất đẳng thức cosi, cơ hội minh chứng bất đẳng thức cosi. Hình như, những bạn phải giải được những bài xích tập luyện tương quan cho tới bất đẳng thức cosi. Bài ghi chép thời điểm ngày hôm nay sẽ hỗ trợ quý khách cũng cố kỹ năng về bất đẳng thức này.

1. Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức cosi bắt nguồn từ bất đẳng thức thân thiết tầm nằm trong và tầm nhân (AM – GM). Cauchy là kẻ vẫn với công minh chứng bất đẳng thức AM – GM bẳng cách thức quy hấp thụ. Do cơ, bất đẳng thức AM – GM được tuyên bố Theo phong cách không giống nhằm trở nên bất đẳng thức cosi.

Bạn đang xem: bất đẳng thức cosi cho 3 số

1.1 Bất đẳng thức AM – GM

Cho x₁, x₂,…, x_n là n số thực ko âm, Lúc cơ tớ có:

\[ \frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} \ge \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \]

Đẳng thức xẩy ra Lúc và chỉ Lúc x₁ = x₂ =… = x_n

Bất đẳng thức này còn rất có thể được tuyên bố bên dưới dạng

\[ {x_1+ x_2 + …, + x_n} \ge n \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \]

Hoặc

\[ (\frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n})^n \ge {x_1x_2…x_n} \]

1.2. Bất đẳng thức Cosi

Giả sử a₁ ,a₂,…, a_n  là những số thực bất kì và b₁, b₂,…, b_n là những số thực dương. Khi cơ, tớ luôn luôn có:

\[\frac{a_1^2}{b_1^2} + \frac{a_2^2}{b_2^2} + … + \frac{a_n^2}{b_n^2} \ge \frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n}\]

Đẳng thức xẩy ra Lúc và chỉ Lúc \[\frac{a_1^2}{b_1^2} = \frac{a_2^2}{b_2^2} = … = \frac{a_n^2}{b_n^2}\]

1.2.1. Bất đẳng thức cosi mang đến 2 số ko âm

\[ \frac{a + b} {2} \ge \sqrt {ab} \]

Dấu vị xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b

1.2.2. Bất đẳng thức cosi mang đến 3 số ko âm

\[ \frac{a + b + c } {3} \ge \sqrt [3] {abc} \]

Dấu vị xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b = c

1.2.3. Bất đẳng thức cosi mang đến 4 số ko âm

\[ \frac{a + b + c + d } {4} \ge \sqrt [4] {abcd} \]

Dấu vị xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b = c = d

1.2.4 Bất đẳng thức cosi mang đến n số ko âm

Với x₁, x₂,…, x_n là n số thực ko âm, Lúc cơ tớ có:

\[ \frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} \ge \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \]

Đẳng thức xẩy ra Lúc và chỉ Lúc x₁ = x₂ =… = x_n

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi

2.1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi trúng với 2 thực số ko âm

Rõ ràng với a = 0 và b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn trúng (1). Ta chỉ việc minh chứng bất đẳng thức luôn luôn trúng với 2 số a, b dương.

\[ \frac{a + b} {2} \ge \sqrt {ab} \]

\[ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \]

\[ \Leftrightarrow a  – 2\sqrt {ab} + b \ge 0\]

\[ (\sqrt {a} – \sqrt {b})^2 \ge 0\] (luôn trúng với từng a, b ≥ 0)

=> Bất đẳng thức vẫn mang đến luôn luôn trúng với từng a, b dương (2)

Từ (1) và (2) => bất đẳng thức cosi trúng với 2 số thực a, b ko âm.

2.2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 thực số ko âm

Rõ ràng a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn trúng. Do cơ, tớ chỉ việc minh chứng bất đẳng thức trúng với 3 số thực a, b, c dương.

Đặt \[ x = \sqrt [3] {a}, hắn = \sqrt [3] {b}, z = \sqrt [3] {c}  \]

=> x, hắn, z ≥ 0 => => x + hắn + z ≥ 0

Bất đẳng thức của 3 số thực a, b, c dương được quy về trở thành bất đẳng thức của 3 số thực x, hắn, z dương.

\[ (x + y)^3 – 3xy(x + y) + z^3 – 3xyz \ge 0 \]

\[ (x + hắn +z)[(x + y)^2 – (x +y)z + z^2]\]

\[ – 3xy(x + hắn + z) \ge 0 \]

\[ (x + hắn +z)(x^2 + y^2 + z^2 +2xy – xz – yz) \]

\[ – 3xy(x + hắn + z) \ge 0 \]

Xem thêm: Nui tiếng Anh là gì? - tieng-nhat.com

\[ (x + hắn +z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – xz – yz) \ge 0 \]

\[ (x + hắn +z)[(x – y)^2 + (y – z)^2 + (x – z)^2] \ge 0 \] (luôn trúng với từng x, hắn, z ≥ 0)

Dấu “=” xẩy ra Lúc x = hắn = z hoặc a = b = c.

2.3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực ko âm

Ta đơn giản và dễ dàng nhìn thấy rằng với a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn trúng. Bây giờ tất cả chúng ta chỉ việc minh chứng bất đẳng thức trúng với 4 số thực dương.

Từ thành phẩm minh chứng bất đẳng thức trúng với 2 số thực ko âm tớ có:

\[ a + b + c + d \ge 2\sqrt [2] {ab} + 2\sqrt [2] {cd} \ge 4\sqrt [4] {abcd} \]

\[ \Leftrightarrow \frac{a + b + c + d } {4} \ge \sqrt [4] {abcd} \] (đpcm)

Ta còn rút đi ra được hệ quả:

Với \[ d = \frac{a + b + c} {3}\]

Thì bất đẳng thức quay trở lại dạng bất đẳng thức cosi với 3 số thực dương.

2.4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm

Theo minh chứng phía trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn luôn trúng.

Nếu bất đẳng thức trúng với n số thì nó cũng như với 2n số. Chứng minh điều này như sau:

\[ x_1+ x_2 + …, + x_n \]

\[ \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n} + n\sqrt [n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \]

\[  \ge 2n\sqrt [2n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \]

Theo quy hấp thụ thì bất đẳng thức trúng với n là 1 trong những lũy quá của 2.

Mặt không giống fake sử bất đẳng thức trúng với n số thì tớ cũng minh chứng được nó trúng với n-1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi mang đến n số:

\[ x_1+ x_2 + …, + x_n  \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n}\]

\[ x_n = \frac {s}{n – 1}, s =x_1 + x_2 + …, + x_n \]

=> \[ s \ge (n – 1) \sqrt [n – 1] {x_1x_2…x_{n – 1}} \]

Đây đó là bđt Cosi (n-1) số. Như vậy tớ với dpcm.

3. Bài tập luyện cơ phiên bản về bất đẳng thức cosi

Bài 1. Cho những số thực dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 3.

Chứng minh rằng:

\[ \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} + \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} + \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} \le \sqrt{3} \]

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, tớ có:

(a² + b + c)(1 + b + c) ≥ (a + b + c)² . Do cơ, nhằm minh chứng bất đẳng thức vẫn mang đến, tớ chỉ việc minh chứng rằng:

\[ \frac {a \sqrt {1 + b + c} + b \sqrt {1 + c + a} + c \sqrt {1 + a + b}}{a + b + c} \le \sqrt{3}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cosi đợt loại nhị tớ thu được:

VT = \[ \frac { \sqrt{a}\sqrt{a(1 + b + c)} + \sqrt{b}\sqrt{b(1 + c + a)} + \sqrt{c}\sqrt{c(1 + a + b)}}{a + b + c}\]

\[ \le \frac { \sqrt{{(a + b + c)}[a(1 + b + c) + b(1 + c + a) + c(1 + a + b)] }} {a + b + c}\]

= \[ \sqrt{1 + \frac {2(ab + bc +ca)}{a +  b + c}}\]

Xem thêm: d%C3%A2u%20t%C3%A2y trong Tiếng Anh, dịch

\[ \le \sqrt{1 + \frac {2(a + b +c)}{3}}\]

\[ \le \sqrt{1 + \frac {2 \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)}}{3}} = \sqrt{3}\] (đpcm)

Đẳng thức xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b = c = 1.

4. Bài tập luyện nâng lên về bất đẳng thức cosi