Các dạng toán áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Như chúng ta đang được biết, đàng trung tuyến là một trong những kiến thức và kỹ năng rất rất cần thiết vô lịch trình hình học tập lớp 7. Vậy thế nào là là đàng trung tuyến của tam giác? Tính hóa học tía đàng trung tuyến của tam giác ra sao và nó với những điểm đặc trưng gì? Chúng tớ tiếp tục nằm trong thám thính hiểu vô nội dung bài viết này nhé.

1. Đường trung tuyến của tam giác là gì?

Đoạn trực tiếp AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phân phát kể từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.

Bạn đang xem: Các dạng toán áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Mỗi tam giác với tía đàng trung tuyến.

Ví dụ: Tam giác ABC với tía đàng trung tuyến AM, BN, CP.

duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-khai-niem-tinh-chat-va-cac-diem-lien-quan-1
Hình 4.1

2. Tính hóa học tía đàng trung tuyến của tam giác

Ba đàng trung tuyến của một tam giác nằm trong trải qua một điểm. Điểm ê cơ hội từng đỉnh một khoảng tầm vì thế độ lâu năm đàng trung tuyến trải qua đỉnh ấy.

Cụ thể, vô tam giác ABC (hình 4.1), những đàng trung tuyến AM, BN, CP nằm trong trải qua điểm G (hay hay còn gọi là đồng quy bên trên điểm G) và tớ có:

Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

3. Các dạng bài xích tập dượt cơ phiên bản về đàng trung tuyến của tam giác lớp 7

3.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng liền mạch là đàng trung tuyến của tam giác

Bài 1: Cho tam giác MNP cân nặng bên trên M, với MH vuông góc với NP. Chứng minh MH là đàng trung tuyến của tam giác MNP.

ĐÁP ÁN

duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-khai-niem-tinh-chat-va-cac-diem-lien-quan-1A
Xét tam giác MNH vuông bên trên H và tam giác MPH vuông bên trên H có:
MN = MP ( Vì tam giác MNP cân nặng bên trên M)
AH là cạnh chung

Do ê, ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)
Suy đi ra NH = PH (hai cạnh tương ứng)
Suy đi ra H là trung điểm của NP
Vậy MH là đàng trung tuyến của tam giác MNP.

Bài 2: Cho tam giác DEF với M, N theo thứ tự là trung điểm của DE và DF. sành FM và EN hạn chế nhau bên trên H. Chứng minh DH là đàng trung tuyến của tam giác DEF.

ĐÁP ÁN

duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-khai-niem-tinh-chat-va-diem-lien-quan-10

Vì M, N theo thứ tự là trung điểm của DE và EF nên FM và EN là hai tuyến phố trung tuyến của tam giác DMN.

Mà FM và EN hạn chế nhau bên trên H nên DH là đàng trung tuyến loại tía của tam giác DEF. 

3.2. Dạng 2: Sử dụng đặc thù đàng trung tuyến của tam giác

Bài 1: Cho tam giác MNP, D là trung điểm của MN. Trên đoạn ND lấy điểm E sao mang đến NE = 2 ED. Điểm F nằm trong tia đối của tia DE sao mang đến NF = 2 NE. Gọi K là trung điểm của PF và G là phú điểm của EK với MP.

a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác EFP.

b) Tính tỉ số  

ĐÁP ÁN

 duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-khai-niem-tinh-chat-va-cac-diem-lien-quan-1B

a) Ta với NF = 2 NE  NE = EF
Mà NE = 2 ED nên EF = 2 ED 
 D là trung điểm của EF
 PD là đàng trung tuyến của tam giác EFP.
Vì K là trung điểm của PF nên EK là đàng trung tuyến của tam giác EFP.
Tam giác EFP với hai tuyến phố trung tuyến PD và EK hạn chế nhau bên trên G nên G là trọng tâm tam giác EFP.
b) Vì G là trọng tâm tam giác EFP nên  
      

Bài 2: Cho tam giác ADP với hai tuyến phố trung tuyến DE và PF hạn chế nhau ở G. AG kéo dãn dài hạn chế PD ở M. Chứng minh MP = MD.

ĐÁP ÁN

  duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-khai-niem-tinh-chat-va-diem-lien-quan-1C

Vì tam giác ADP với hai tuyến phố trung tuyến hạn chế nhau bên trên G, suy đi ra G là trọng tâm tam giác ADP.
Mà AM trải qua G nên AM là đàng trung tuyến loại tía.
Suy đi ra M là trung điểm của DP
Vậy MD = MP.

3.3. Dạng 3: Đường trung tuyến của tam giác cân nặng, tam giác đều, tam giác vuông

Bài 1: Cho tam giác đều DEF với tía đàng trung tuyến DM, EN, FP hạn chế nhau bên trên O. Chứng minh:
a) DM = EN = FP.
b) OD = OE = OF.

ĐÁP ÁN

duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-khai-niem-tinh-chat-va-diem-lien-quan-1D
a) Ta với FP, EN là những đàng trung tuyến của tam giác DEF   
Vì DF = DE (tam giác DEF đều) nên hoặc FN = EP
Xét tam giác EFN và tam giác FEP có:
EF là cạnh chung;
(do tam giác DEF đều)
FN = EP ( chứng tỏ trên)
Do ê, ( cạnh- góc- cạnh)
  EN = FP (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự động tớ với DM = EN
Từ ê suy đi ra DM = EN = FP
b) Vì tam giác DEF với tía đàng trung tuyến hạn chế nhau bên trên O nên O là trọng tâm tam giác DEF 
  
Vì DM = EN = FP nên  
hay OD = OE = OF

Bài 2: Chứng minh rằng vô một tam giác, đàng trung tuyến ứng với cùng 1 cạnh vì thế nửa cạnh ấy thì tam giác này đó là tam giác vuông.

Xem thêm: Hình ảnh đẹp chúc mừng mùng 1 đầu tháng, mang đến bình an và may mắn

ĐÁP ÁN

duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-khai-niem-tinh-chat-va-diem-lien-quan-7
 Xét tam giác ABC với trung tuyến  
Khi ê tam giác AMB cân nặng bên trên M và tam giác AMC cân nặng bên trên M.
  
  hoặc  
Xét tam giác ABC với  mà  
nên  
Vậy tam giác ABC vuông ở A.

3.4. Dạng 4: Một số bài xích tập dượt nâng lên về đàng trung tuyến của tam giác

Bài 1: Cho hai tuyến phố trực tiếp aa' và bb' hạn chế nhau bên trên O. Trên aa' lấy tía điểm A, B, C sao mang đến OA = AB = BC, bên trên bb' lấy tía điểm E, M, N sao mang đến OE = OM = MN. Chứng minh rằng tía đường thẳng liền mạch AE, BN và CM nằm trong trải qua một điểm.

ĐÁP ÁN

duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-khai-niem-tinh-chat-va-diem-lien-quan-3A  

Xét tam giác MEC với OE = OM nên O là trung điểm của EM

Suy đi ra, CO là đàng trung tuyến ứng với cạnh EM của tam giác EMC (1)

Gọi I là trung điểm của MC và A' là phú điểm của EI và CO (2)

Nên EI là đàng trung tuyến ứng với cạnh MC của tam giác EMC (3)

Từ (1), (2), (3), suy đi ra A' là trọng tâm tam giác MCE nên OA'=  

 

Suy đi ra OA = OA' nên  A'

Ta với, BN // MA và BI // MA suy đi ra N, I, B trực tiếp hàng

Vậy tía đường thẳng liền mạch AE, BN, CM đồng quy bên trên I

Bài 2: Cho tam giác MNE, tía đàng trung tuyến MP, NF, EA hạn chế nhau ở O. Chứng minh rằng 2 tam giác OEP, OFE với diện tích S đều nhau.

ĐÁP ÁN

duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-khai-niem-tinh-chat-va-diem-lien-quan-2A

Vì tam giác MNE với tía đàng trung tuyến hạn chế nhau bên trên O, nên O là trọng tâm tam giác MNE

Suy đi ra  

Hai tam giác OEP và EMP với nằm trong độ cao hạ kể từ đỉnh E xuống MP, và với nên  

Hai tam giác EMP và EMN với nằm trong độ cao hạ kể từ đỉnh M xuống NE và với nên  

Suy đi ra  

Chứng minh tương tự động tớ với  

Xem thêm: Danh Từ Trong Tiếng Anh (2024 mới) - EnglishCentral Blog

Vậy  

Trên đó là một trong những kiến thức và kỹ năng trọng tâm tương quan cho tới tính hóa học 3 đàng trung tuyến của tam giác, kỳ vọng nội dung bài viết này sẽ hỗ trợ những em làm rõ rộng lớn về đàng trung tuyến bên cạnh đó vận dụng được vô những việc tương quan. Chúc những em học tập thiệt chất lượng nhé.


Chịu trách cứ nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang