Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 là tài liệu về cách tính delta và cách tính delta phẩy trong phương trình bậc hai do đội ngũ giáo viên của GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu cho các bạn học sinh và thầy cô nghiên cứu, học tập tốt môn Toán 9 cũng như luyện tập nhằm chuẩn bị tốt nhất cho kì thi học kì và kì thi vào lớp 10 sắp diễn ra. Mời các bạn tham khảo.

1. Định nghĩa về Delta trong toán học

+ Delta là một chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp, được kí hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ (đối với chữ thường).

+ Trong toán học, đặc biệt là Toán 9, ký hiệu Δ chỉ một biệt thức trong phương trình bậc hai mà dựa vào từng giá trị của delta ta có thể kết luận được số nghiệm của phương trình bậc hai.

+ Ngoài ra delta còn dùng để kí hiệu cho đường thẳng mà các bạn sẽ được học ở các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

+ Phương trình bậc hai một ẩn (ẩn $x$ ) là phương trình có dạng:

$a{x^2} + bx + c = 0$

Trong đó $a \ne 0$ , $a,b$ là các hệ số, $c$ là hằng số.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính $\Delta = {b^2} - 4ac$ (được gọi là biệt thức Delta)

- Nếu $\Delta > 0$ , phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$

- Nếu $\Delta = 0$ , phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$

- Nếu $\Delta < 0$ , phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ vô nghiệm.

+ Tính $\Delta ' = b{'^2} - ac;\,\,\,b' = \frac{b}{2}$ (được gọi là biệt thức Delta phẩy)

- Nếu $\Delta ' > 0$ , phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

- Nếu $\Delta ' = 0$ , phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$

- Nếu $\Delta ' < 0$ , phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ vô nghiệm.

4. Chứng minh công thức Delta

Ta xét phương trình bậc 2:

$a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,(a \ne 0)$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \dfrac{b}{a}x} \right) + c = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a\left[ {{x^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}x + {{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2}} \right] + c = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} + c = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} \hfill \\ \Leftrightarrow 4{a^2}{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = {b^2} - 4ac \hfill \\ \end{matrix}$

Vế phải chính là Δ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Và do vế trái của đẳng thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên chúng ta mới phải biện luận nghiệm của ${b^2} - 4ac$ .

+ ${b^2} - 4ac < 0$ : vế trái lớn hơn bằng 0, vế phải nhỏ hơn 0 nên phương trình vô nghiệm.

+ ${b^2} - 4ac = 0$ , phương trình trên trở thành

$4{a^2}{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{{2a}}$

+ ${b^2} - 4ac > 0$ , phương trình trên trở thành

$\begin{matrix} 4{a^2}{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = {b^2} - 4ac \hfill \\ \Leftrightarrow {\left[ {2a\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)} \right]^2} = {b^2} - 4ac \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2a\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right) = \sqrt {{b^2} - 4ac} \hfill \\ 2a\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right) = - \sqrt {{b^2} - 4ac} \hfill \\ \end{matrix} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x + \dfrac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ x + \dfrac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \dfrac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ x = \dfrac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ \end{matrix} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Và ${b^2} - 4ac$ là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt $\Delta = {b^2} - 4ac$ nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$
Trường hợp nghiệm	Công thức nghiệm $\Delta = {b^2} - 4ac$	Công thức nghiệm thu gọn (áp dụng khi hệ số $b$ chẵn) $\Delta = b{'^2} - ac$ với $b' = \frac{b}{2}$
Phương trình vô nghiệm	$\Delta < 0$	$\Delta ' < 0$
Phương trình có nghiệm kép	$\Delta = 0$ . Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$	$\Delta ' = 0$ . Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt	$\Delta > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$	$\Delta ' > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};\,\,\,{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

6. Các dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 1: Giải các phương trình bậc hai dưới đây:

Lời giải:

a) ${x^2} - 4x + 3 = 0$ (a = 1; b = - 4 ; c = 3)

Có $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.3 = 4 > 0$

(hoặc $\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.3 = 1 > 0$ )

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3;\,\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{4 - 2}}{2} = 1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 3}

b) $3{x^2} + 2x + 1 = 0$ (a = 3; b = 2; c = 1)

Có $\Delta = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4.3.1 = - 8 < 0$

(hoặc $\Delta ' = b{'^2} - ac = {1^2} - 1.3 = - 2 < 0$ )

Vậy phương trình vô nghiệm

c) $4{x^2} + 4x + 1 = 0$ (a = 4; b = 4; c = 1)

Có $\Delta = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.4.1 = 0$

(hoặc $\Delta ' = b{'^2} - ac = {2^2} - 4.1 = 0$ )

Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{8} = \frac{{ - 1}}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { $\frac{{ - 1}}{2}$ }

Dạng 2: Biện luận nghiệm phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:

${x^2} - 2x + m = 0$

Lời giải:

Ta có: $\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.1.m = 4 - 4m$

+ Với $\Delta < 0 \Leftrightarrow 4 - 4m < 0 \Leftrightarrow m < 1$ , phương trình vô nghiệm.

+ Với $\Delta = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1$ , phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{2}{2} = 1$

+ Với $\Delta > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m > 0 \Leftrightarrow m > 1$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{2 + \sqrt {4 - 4m} }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 4m} }}{2}$

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình $2{x^2} - 4x + m = 0$

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $2{x^2} - 4x + m = 0$ với các hệ số $a = 2\,\,\left( {a \ne 0} \right),\,\,\,b = - 4,\,\,c = m$

Ta có ${\Delta ^\prime } = {2^2} - 2m = 4 - 2m$

a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ${\Delta ^\prime }>0$

$\Leftrightarrow 4 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < 2$

b) Để phương trình có nghiệm kép thì ${\Delta ^\prime }=0$

$\Leftrightarrow 4 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 2$

c) Để phương trình vô nghiệm thì ${\Delta ^\prime }<0$

$\Leftrightarrow 4- 2m < 0 \Leftrightarrow m > 2$

d) Để phương trình có nghiệm thì ${\Delta ^\prime }\ge0$

$\Leftrightarrow 4 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2$

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình $m{x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 4m - 7 = 0$

a) Có nghiệm

b) Có 2 nghiệm phân biệt

c) Có nghiệm kép

d) Vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $m{x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 4m - 7 = 0$ với các hệ số $a = m,\,\,b = 6\left( {m - 2} \right)\,\, \Rightarrow \,\,\,{b^\prime } = 3\left( {m - 2} \right),\,\,c = 4m - 7$ .

Ta có: ${\Delta ^\prime } = {\left[ {3\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - m.\left( {4m - 7} \right) = 9{m^2} - 36m + 36 - 4{m^2} + 7m$ = $5{m^2} - 29m + 36$

a) Để phương trình có nghiệm thì:

Xét $m = 0$ . Phương trình trở thành: $0{x^2} + 6\left( {0 - 2} \right)x + 4.0 - 7 = 0 = - 12x - 7 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 7}}{{12}}$

Xét . $m \ne 0$ ${\Delta ^\prime } \ge 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le \frac{9}{5}}\\{m \ge 4}\end{array}} \right.$

b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\Delta ^\prime } > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < \frac{9}{5}}\\{m > 4}\end{array}} \right.}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.$

c) Để phương trình có nghiệm kép thì ${\Delta ^\prime } = 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \dfrac{9}{5}}\\{m = 4}\end{array}} \right.$

d) Để phương trình vô nghiệm thì ${\Delta ^\prime } < 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \frac{9}{5} < m < 4$

6. Bài tập vận dụng công thức delta và delta phẩy

Bài 1: Xác định a, b, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) $4x^2+4x+1=0$

b) $13852x^2-14x+1=0$

Bài 2: Giải các phương trình bậc hai dưới đây:

Bài 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai dưới đây:

${x^2} - 2mx + {m^2} + m = 0$

Bài 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai dưới đây:

$\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 5 = 0$

Bài 5: Giải và biện luận phương trình bậc hai dưới đây:

${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 10 = 0$

Tham khảo thêm:

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn
Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
Tìm m để phương trình có nghiệm
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Một số đề thi thử vào lớp 10 trên toàn quốc:

Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 - 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Tiền Giang
Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 - 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Trà Vinh
Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 - 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Vĩnh Long
Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 - 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Ninh Thuận
Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 - 2022 trường chuyên Thái Bình

---------------

Ngoài Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 Toán 9, đề cương ôn tập môn Toán 9 học kì 2,...được chia sẻ trên trang GiaiToan.com. Với tài liệu này này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124