Gà lớp k11 sư phạm toán Trường cao đẳng sư phạm Hà Giang Các cách chứng minh định lí đương trung bình của hình thang Giả thiết Hình thang ABCD (AB // CD) Có: AE = ED, BF = FC Kết luận EF // AB, EF // DC; EF = . 1. Cách 1: F E A B C D I Gọi I là giao điểm của các đường thẳng AF và DC. xét ΔABF và ΔICF có: AFB = IFC (đối đỉnh) BF = FC (giả thiết) ABF = ICF (so le trong, AB // DI). => ΔABF = ΔICF (g.c.g) => AF = FI và AB = CI. Mà AE = ED và AF = FI nên EF là đường trung bình của tam giác ADI => EF // DI (tức EF // DC và EF // AB) và EF = DI. Mặt khác DI = DC + CI = AB + CD. => EF = . 2. Cách 2: F E A B C D I Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BF và DC. xét ΔABE và ΔDIE có: AEB = DEI (đối đỉnh) AE = ED (giả thiết) BAE = IDE (so le trong, AB // CI). => ΔABE = ΔDIE (g.c.g) => BE = EI và AB = ID. Mà BF = FC và BE = EI nên EF là đường trung bình của tam giác BCI => EF // IC (tức EF // DC và EF // AB) và EF = CI. Mặt khác CI = DC + DI = AB + CD. => EF = . 3. Cách 3: F E A B C D I Gọi I là giao điểm của các đường thẳng DF và AB. xét ΔBIF và ΔCDF có: CFD = BFI (đối đỉnh) BF = FC (giả thiết) IBF = DCF (so le trong, AI // DC). => ΔBIF = ΔCDF (g.c.g) => BI = DC và DF = FI. Mà AE = ED và DF = FI nên EF là đường trung bình của tam giác DAI => EF // AI (tức EF // DC và EF // AB) và EF = AI. Mặt khác AI = AB + BI = AB + CD. => EF = . 4. Cách 4: F E A B C D I Gọi I là giao điểm của các đường thẳng AB và FC. xét ΔIAE và ΔCDE có: AEI = DEC (đối đỉnh) AE = ED (giả thiết) IAE = CDE (so le trong, IB // DC). => ΔIAE = ΔCDE (g.c.g) => IA = DC và IE = EC. Mà BF = FC và IE = EC nên EF là đường trung bình của tam giác BCI => EF // IB (tức EF // DC và EF // AB) và EF = BI. Mặt khác BI = AB + AI = AB + CD. => EF = . 5. Cách 5: I F E A B C D Gọi I là trung điểm của BD Ta có: BI = ID và BF = FC => IF là đường trung bình của ΔBCD => IF // DC và IF = . Tương tự EI là đường trung bình của ΔDAB (vì AE = ED và DI = IB) => EI // AB và EI = . Qua I ta có EI // AB, IF // AB (AB // CD) => E, I, F thẳng hàng, do đó EF // AB // CD => EF = EI + IF = + = . 6. Cách 6: I F E A B C D Gọi I là trung điểm của AC Ta có: AI = IC và BF = FC => IF là đường trung bình của ΔABC => IF // AB và IF = . Tương tự EI là đường trung bình của ΔACD (vì AE = ED và AI = IC) => EI // CD và EI = . Qua I ta có EI // AB, IF // AB (AB // CD) => E, I, F thẳng hàng, do đó EF // AB // CD => EF = EI + IF = + = . 7. Cách 7: I F E A B C D Giả thiết Cho tứ giác ABCD có: AE = ED; BF = FC; AI = IC Kết luận Chứng minh EF Ta có AE = ED và AI = IC => EI la đường trung bình của tam giác ADC => EI = . Tương tự BF = FC và AI = IC => IF la đường trung bình của tam giác CAB => IF = . Mà EF EI + IF ( bất đẳng thức trong tam giác) <=> EF + = . Dấu “=” xảy ra <=> I thuộc đường thẳng EF và AB // CD // EF. . sư phạm Hà Giang Các cách chứng minh định lí đương trung bình của hình thang Giả thiết Hình thang ABCD (AB // CD) Có: AE = ED, BF = FC Kết luận EF // AB, EF // DC; EF = . 1. Cách 1: F E A B C D I Gọi. + = . 6. Cách 6: I F E A B C D Gọi I là trung điểm của AC Ta có: AI = IC và BF = FC => IF là đường trung bình của ΔABC => IF // AB và IF = . Tương tự EI là đường trung bình của ΔACD. đường trung bình của tam giác BCI => EF // IC (tức EF // DC và EF // AB) và EF = CI. Mặt khác CI = DC + DI = AB + CD. => EF = . 3. Cách 3: F E A B C D I Gọi I là giao điểm của các đường