PHẦN II-MẶT NÓN- MẶT TRỤ-MẶT CẦU

Nội dung

Hình vẽ

Đường thẳng $d,\ \Delta $ cắt nhau tại $O$ và tạo thành góc $\beta $ với ${{0}^{o}}<\beta <{{90}^{o}},\ mp\left( P \right)$ chứa $d,\ \Delta .\ \left( P \right)$ quay quanh trục $\Delta $với góc $\beta $  không đổi $\Rightarrow $ mặt nón tròn xoay đỉnh $O$

• $\Delta $ gọi là trục.
• $d$ được gọi là đường sinh.
• Góc $2\beta $ gọi là góc ở đỉnh.

Nội dung

Hình vẽ

Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón.

Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.

Điều kiện

Kết quả

Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp $\left( Q \right)$ đi qua đỉnh của mặt nón.

• $mp\left( Q \right)$ cắt mặt nón theo 2 đường sinh.
• $mp\left( Q \right)$ tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh.

• Thiết diện là tam giác cân.
• $\left( Q \right)$ là mặt phẳng tiếp diện của hình nón.

Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( Q )  không đi qua đỉnh của mặt nón.

• $mp\left( Q \right)$ vuông góc với trục hình nón.
• $mp\left( Q \right)$ song song với 2 đường sinh hình nón.
• $mp\left( Q \right)$ song song với 1 đường sinh hình nón.

• Giao tuyến là 1 đường parabol.
• Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
• Giao tuyến là một đường tròn.

Nội dung

Hình vẽ

Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho hai đường thẳng $\Delta $ và $l$ song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng $r$. Khi quay mặt phẳng $\left( P \right)$ xung quanh $\Delta $ thì đường thẳng $l$  sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ.

• Đường thẳng $\Delta $ gọi là trục.
• Đường thẳng $l$ là đường sinh.
• $r$ là bán kính của mặt trụ đó.

Nội dung

Hình vẽ

Ta xét hình chữ nhật $ABCD$. Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc $ABCD$ sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ.

Nội dung

Hình vẽ

Cho điểm $I$ cố định và một số thực dương $R$.

Tập hợp tất cả những điểm $M$ trong không gian cách $I$ một khoảng $R$ được gọi là mặt cầu tâm $I,$ bán kính $R.$

Kí hiệu: $S\left( I;R \right)$ Khi đó:

$S\left( I;R \right)=\left\{ M|IM=R \right\}$

$d>R$

$d=R$

$d<R$

Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: $\left( P \right)$ là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và $H:$ tiếp điểm.

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm $I'$ và bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$

$IH>R$

$IH=R$

$IH<R$

$\Delta $ không cắt mặt cầu.

$\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu.

$\Delta $: Tiếp tuyến của $\left( S \right)$

$H:$ tiếp điểm.

$\Delta $ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

Nội dung

Hình vẽ

Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.

Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.

Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu

Nội dung

Hình vẽ

Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu.

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu.

Mặt cầu tâm $O$ bán kính $r$ ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$  khi và chỉ khi

 $OA=OB=OC=OD=OS=r$

Nội dung

Hình vẽ

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.

Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón.

Nội dung

Hình vẽ

Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$ Khi đó:

•  $AC\bot \left( SMI \right)$
• Góc giữa $\left( SAC \right)$  và $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SMI}$.
• Góc giữa $\left( SAC \right)$  và $SI$ là góc $\widehat{MSI}$.
• $d\left( I,\left( SAC \right) \right)=IH=d$

Diện tích thiết diện

${{S}_{td}}={{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}SM.AC=\frac{1}{2}\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{M}^{2}}}.2\sqrt{A{{I}^{2}}-I{{M}^{2}}}$

      $=\sqrt{{{r}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}{{d}^{2}}}{{{h}^{2}}-{{d}^{2}}}}.\sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}{{d}^{2}}}{{{h}^{2}}-{{d}^{2}}}}$

Nội dung

Hình vẽ

Hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABCD$ đều là hình nón có đỉnh là $S$, đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$.

Khi đó hình nón có:

• Bán kính đáy $r=IM=\frac{AB}{2}$
• Đường cao $h=SI$, đường sinh $l=SM$

Hình chóp tứ giác đều 

S.ABCD

Hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ đều là hình nón có đỉnh là $S$, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$.

Khi đó hình nón có:

• Bán kính đáy:  $r=IA=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}$
• Chiều cao:  $h=SI$
• Đường sinh: $l=SA$

Hình chóp tứ giác đều 

S.ABCD

Hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABC$ đều là hình nón có đỉnh là $S$, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Khi đó hình nón có

• Bán kính đáy:  $r=IM=\frac{AM}{3}=\frac{AB\sqrt{3}}{6}$
• Chiều cao: $h=SI$
• Đường sinh: $l=SA$

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$

Hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ đều là hình nón có đỉnh là $S$, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Khi đó hình nón có:

• Bán kính đáy: $r=IA=\frac{2AM}{3}=\frac{AB\sqrt{3}}{3}$
• Chiều cao: $h=SI$

Đường sinh: $l=SA$

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$

Nội dung

Hình vẽ

Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn.

Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân.

Cho hình nón cụt có $R,\ r,\ h$ lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.

Diện tích xung quanh của hình nón cụt:

${{S}_{xq}}=\pi l\left( R+r \right)$

Diện tích đáy (hình tròn):

$S$đáy 1$=\pi {{r}^{2}}$; $S$đáy 2$=\pi {{r}^{2}}$$\Rightarrow \sum\limits_{{}}^{{}}{S}$đáy$=\pi \left( {{r}^{2}}+{{R}^{2}} \right)$

Diện tích toàn phần của hình nón cụt:

 ${{S}_{tp}}=\pi \lambda \left( R+r \right)+\pi {{r}^{2}}+\pi {{R}^{2}}$

Thể tích khối nón cụt:

$V=\frac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)$

Nội dung

Hình vẽ

Từ hình tròn $\left( O;R \right)$ cắt bỏ đi hình quạt $AmB.$  Độ dài cung $\overset\frown{AnB}$ bằng $x.$ Phần còn lại của hình tròn ghép lại được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó.

Hình nón được tạo thành có

            $\left\{ \begin{array}{l}
l = R\\
2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{{2\pi }}{x}\\
h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} 
\end{array} \right.$

Nội dung

Hình vẽ

Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính $R$

Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật $ABCD$ trong đó $AB=2R$ và $AD=h$. Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì $h=2R$.

Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật $BGHC$ có khoảng cách tới trục là: $d\left( OO';\left( BGHC \right) \right)=OM$

Nội dung

Hình vẽ

Nếu như $AB$ và $CD$ là hai đường kính bất kỳ trên hai đáy của hình trụ thì:

${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.CD.OO'.\sin \left( AB,CD \right)$

* Đặc biệt: 

Nếu $AB$ và $CD$ vuông góc nhau thì:

${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.CD.OO'$

Nội dung

Hình vẽ

Góc giữa $AB$ và trục $OO'$:

$\left( \widehat{AB,OO'} \right)=\widehat{A'AB}$  

Khoảng cách giữa $AB$ và trục $OO'$:

$d\left( AB;OO' \right)=OM$

Nếu $ABCD$ là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ.

Nghĩa là cạnh hình vuông:

$AB\sqrt{2}=\sqrt{4{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}$

Nội dung

Hình vẽ

Một khối trụ có thể tích $V$ không đổi.

• Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất:

 ${S_{tp\;\min }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
R = \sqrt[3]{{\frac{V}{{4\pi }}}}\\
h = 2\sqrt[3]{{\frac{V}{{4\pi }}}}
\end{array} \right.$

• Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất:

${S_{\min }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
R = \sqrt[3]{{\frac{V}{\pi }}}\\
h = \sqrt[3]{{\frac{V}{\pi }}}
\end{array} \right.$

Nội dung

Hình vẽ

Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) $\Rightarrow $ Tâm là $I$, là trung điểm của $AC'$.

Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

$\Rightarrow $Bán kính: $R=\frac{AC'}{2}$

Nội dung

Hình vẽ

Xét hình lăng trụ đứng ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}.A_{1}^{'}A_{2}^{'}A_{3}^{'}...A_{n}^{'}$, trong đó có 2 đáy ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}$ và $A_{1}^{'}A_{2}^{'}A_{3}^{'}...A_{n}^{'}$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$  và $\left( O' \right)$. Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

• Tâm: $I$ với $I'$ là trung điểm của $OO'$.
• Bán kính: $R=I{{A}_{1}}=I{{A}_{2}}=...=IA_{n}^{'}$

Nội dung

Hình vẽ

Hình chóp $S.ABC$ có  $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}={{90}^{0}}$.

• Tâm: $I$ là trung điểm của$SC$.
• Bán kính: $R=\frac{SC}{2}=IA=IB=IC$

Hình chóp $S.ABCD$ có

$\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=\widehat{SDC}={{90}^{0}}$.

• Tâm: $I$ là trung điểm của$SC$.
• Bán kính: $R=\frac{SC}{2}=IA=IB=IC=ID$

Nội dung

Hình vẽ

Cho hình chóp đều $S.ABC...$

• Gọi $O$ là tâm của đáy$\Rightarrow SO$ là trục của đáy.
• Trong mặt phẳng xác định bởi $SO$ và một cạnh bên, chẳng hạn như $mp\left( SAO \right)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh $SA$ là $\Delta $ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SO$ tại $I\Rightarrow I$  là tâm của mặt cầu.

Bán kính:

Ta có:  $\Delta SMI\backsim \Delta SOA\Rightarrow \frac{SM}{SO}=\frac{SI}{SA}\Rightarrow $  

Bán kính: $R=IS=\frac{SM.SA}{SO}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=IA=IB=IC=...$

Nội dung

Hình vẽ

Cho hình chóp $S.ABC...$ có cạnh bên  $SA\bot \left( ABC... \right)$  và đáy $ABC...$  nội tiếp được trong đường tròn tâm $O$.

Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC...$được xác định như sau:

• Từ tâm $O$ ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mp\left( ABC... \right)$ tại $O$.
• Trong $mp\left( d,SA \right)$, ta dựng đường trung trực $\Delta $ của cạnh $SA$, cắt$SA$ tại $M$, cắt $d$ tại $I\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính

 $R=IA=IB=IC=IS=...$

• Tìm bán kính

Ta có: $MIOB$là hình chữ nhật.

Xét $\Delta MAI$ vuông tại $M$ có:

$R=AI=\sqrt{M{{I}^{2}}+M{{A}^{2}}}=\sqrt{A{{O}^{2}}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}$

Nội dung

Hình vẽ

Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

• Bước 1:

Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng $\Delta $: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

• Bước 2:

Lập mặt phẳng trung trực $\left( \alpha  \right)$ của một cạnh bên.

Lúc đó     

• Tâm $O$ của mặt cầu: $\Delta \cap mp\left( \alpha  \right)=\left\{ O \right\}$
• Bán kính: $R=SA\left( =SO \right).$ Tuỳ vào từng trường hợp.

Nội dung

Hình vẽ

Định nghĩa

Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.

Tính chất

$\forall M\in \Delta :\ MA=MB=MC$

Suy ra: $MA=MB=MC\Leftrightarrow M\in \Delta $

Các bước xác định trục

• Bước 1:

Xác định tâm $H$ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

• Bước 2:

Qua $H$ dựng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng đáy.

Một số trường hợp đặc biệt

• Đáy là tam giác vuông

• Đáy là tam giác đều

• Đáy là tam giác thường

Nội dung

Hình vẽ

$\Delta SMO$ đồng dạng với $\Delta SIA\Rightarrow \frac{SO}{SA}=\frac{SM}{SI}$

Nội dung

Hình vẽ

Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}$ (thõa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

• Bước 1:

Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng $\Delta $:  trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

• Bước 2:

Xác định trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp.

Lúc đó:   

• Tâm $I$ của mặt cầu: $\Delta \cap d=\left\{ I \right\}$
• Bk: $R=IA\left( =IS \right)$. Tuỳ vào từng trường hợp.

Nội dung

Hình vẽ

Cạnh bên SA  vuông góc đáy và $\widehat{ABC}={{90}^{0}}$ khi đó  $R=\frac{SC}{2}$ và tâm là trung điểm $SC$.

Nội dung

Hình vẽ

Cạnh bên $SA$ vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là ${{R}_{D}}$, khi đó : ${{R}^{2}}=R_{D}^{2}+\frac{S{{A}^{2}}}{4}$

•  ${{R}_{D}}=\frac{abc}{4\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}}$ ($p$: nửa chu vi).
• Nếu $\Delta ABC$ vuông tại $A$  thì: ${{R}_{D}}=\frac{1}{4}\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{S}^{2}} \right)$
• Đáy là hình vuông cạnh $a$ thì ${{R}_{d}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
•  nếu đáy là tam giác đều cạnh $a$ thì ${{R}_{D}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Nội dung

Hình vẽ

Chóp có các cạnh bên bằng nhau: $SA=SB=SC=SD$ :

$R=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}$

• $ABCD$ là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó $O$ là giao hai đường chéo.
• $\Delta ABC$ vuông, khi đó $O$ là trung điểm cạnh huyền.
• $\Delta ABC$ đều, khi đó $O$ là trọng tâm, trực tâm.

Nội dung

Hình vẽ

Hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( ABC \right)$ vuông góc với nhau và có giao tuyến $AB$. Khi đó ta gọi ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $SAB$ và $ABC$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

${{R}^{2}}={{R}_{1}}^{2}+{{R}_{2}}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}$

Nội dung

Hình vẽ

Nội dung

Hình vẽ

$\left\{ \begin{array}{l}
{S_{xa}} = \pi r\left( {{h_1} + {h_2}} \right)\\
V = \pi {R^2}\left( {\frac{{{h_1} + {h_2}}}{2}} \right)
\end{array} \right.$

Nội dung

Hình vẽ

$V=\frac{2}{3}{{R}^{3}}\tan \alpha $

Nội dung

Hình vẽ

$V=\left( \frac{\pi }{2}-\frac{2}{3} \right){{R}^{3}}\tan \alpha $

Nội dung

Hình vẽ

Nội dung

Hình vẽ

Nội dung

Hình vẽ

$S=\pi \left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)$

Nội dung

Hình vẽ

$V=2{{\pi }^{2}}\left( \frac{R+r}{2} \right){{\left( \frac{R-r}{2} \right)}^{2}}$