Công thức xác định thể tích, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón cụt
Nhằm giúp các em có công thức xác định nhanh các yêu cầu tính thể tích hay diện tích xung quanh của khối nón cụt, bài viết này hệ thống hoá công thức tính để các em tham khảo.
Xét khối nón cụt có $R,r,h$ lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao ta có
\[V=\dfrac{\pi h({{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}})}{3}.\]
Đường sinh của nón cụt \[l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{(R-r)}^{2}}}.\]
Diện tích xung quanh của nón cụt \[{{S}_{xq}}=\pi (R+r)l=\pi (R+r)\sqrt{{{h}^{2}}+{{(R-r)}^{2}}}.\]
Diện tích toàn phần của nón cụt \[{{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+\pi {{R}^{2}}+\pi {{r}^{2}}=\pi ({{R}^{2}}+{{r}^{2}}+(R+r)l).\]
Ví dụ: Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm $2000$ chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$ xung quanh trục $AD$ (xem hình vẽ).
Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao $7,2\text{ cm;}$ đường kính miệng cốc bằng $6,4\text{ cm;}$ đường kính đáy cốc bằng $1,6\text{ cm.}$ Kem được đổ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
|
A. $293\text{ d}{{\text{m}}^{3}}.$ |
B. $\text{170 d}{{\text{m}}^{3}}.$ |
C. $\text{340 d}{{\text{m}}^{3}}.$ |
D. $\text{954 d}{{\text{m}}^{3}}.$ |
Giải. Một chiếc kem gồm một khối nón cụt có chiều cao $h=7,2;$ bán kính hai đáy $r=0,8;R=3,2$ và một nửa khối cầu có bán kính $R=3,2.$
Vậy thể tích của 2000 chiếc kem là $2000\times \left( \dfrac{\pi }{3}h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)+\dfrac{2}{3}\pi {{R}^{3}} \right)$
$=2000\left( \dfrac{\pi }{3}.7,2\left( {{\left( 3,2 \right)}^{2}}+{{\left( 0,8 \right)}^{2}}+3,2.0,8 \right)+\dfrac{2}{3}\pi {{\left( 3,2 \right)}^{3}} \right)\approx {{340.10}^{3}}\text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}}=340\text{d}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án C.
>>Xem thêm Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng
>>Xem thêm Bài toán thực tế chương khối tròn xoay Nón - Trụ - Cầu hình học không gian Toán 12
>>Xem thêm Tóm tắt lý thuyết và Nón - trụ - Cầu
>>Xem thêm Bài toán con kiến bò quanh miệng cốc hình dạng nón cụt
Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5
Bài tập Hình nón, Hình trụ (Đề số 01)
Bài tập Hình nón, hình trụ (Đề số 02)
Bài tập Hình nón, hình trụ (Đề số 03)
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện (Đề số 01)
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện (Đề số 02)
