[Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Bài ghi chép này Vted ra mắt cho tới độc giả cụ thể Tổng thích hợp toàn bộ những công thức tính thời gian nhanh Tỷ số thể tích khối nhiều diện trích kể từ những bài bác giảng Tính thời gian nhanh tỷ số thể tích của Khoá học tập COMBO X bên trên Vted.vn. Hy vọng nội dung bài viết hữu ích so với quý thầy thầy giáo và chúng ta học viên.

>>Rèn luyện khả năng tính tỉ số thể tích khối nhiều diện trải qua những vấn đề điển hình

>>Định lí menelaus vô mặt mũi phẳng lì và Định lí menelaus vô ko gian

>>Lý thuyết và vận dụng công thức tỷ số thể tích (công thức simson) mang đến khối chóp tam giác (khối tứ diện)

Công thức 1: Hai khối chóp đỉnh chung và cộng đồng mặt mũi phẳng lì lòng $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$

Câu 1.Cho khối chóp $S.ABC$ rất có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ thứu tự là trung điểm những cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$

Bạn đang xem: [Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

A. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{3}{4}.$

B. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{3}.$

C. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{2}.$

D. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{4}.$

Giải. Ta đem $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}.$

Chọn đáp án D.

Câu 2.Cho khối chóp $S.ABCD$ rất có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ thứu tự là trung điểm những cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$

A. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{3}{4}.$

B. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{8}.$

C. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{2}.$

D. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{4}.$

Giải. Ta đem $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 2: Công thức Simson (tỷ số thể tích) mang đến khối chóp tam giác $\dfrac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{S{{A}_{1}}}{SA}.\dfrac{S{{B}_{1}}}{SB}.\dfrac{S{{C}_{1}}}{SC}.$

Công thức 3: Cắt khối chóp vày mặt mũi phẳng lì tuy vậy song với lòng sao mang đến $\dfrac{S{{B}_{1}}}{S{{A}_{1}}}=k$ thì $\dfrac{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}}={{k}^{3}}$ (đây là tình huống đặc trưng mang đến nhì khối nhiều diện đồng dạng tỷ số $k).$

Công thức 4: Mặt phẳng lì hạn chế những cạnh của khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ thứu tự bên trên $M,N,P$ sao mang đến $\dfrac{AM}{A{A}'}=x,\dfrac{BN}{B{B}'}=y,\dfrac{CP}{C{C}'}=z$ tao đem ${{V}_{ABC.MNP}}=\dfrac{x+y+z}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}.$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ rất có thể tích $V.$ Các điểm $M,N$ thứu tự với mọi cạnh $B{B}',C{C}'$ sao mang đến $\dfrac{MB}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},\dfrac{NC}{C{C}'}=\dfrac{1}{4}.$ Thể tích của khối chóp tứ giác $A.BMNC$ là ?

A. $\dfrac{V}{3}.$

B. $\dfrac{3V}{8}.$

C. $\dfrac{V}{6}.$

D. $\dfrac{V}{4}.$

Giải.Ta đem ${{V}_{A.BMNC}}=\dfrac{x+y+z}{3}V=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+0}{3}V=\dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ rất có thể tích $V=27.$ Gọi $M,\text{ }N$ thứu tự là trung điểm của $B{B}'$ và $C{C}'.$ Hai mặt mũi phẳng lì $\left( AMN \right)$ và $\left( {A}'BC \right)$ phân tách khối lăng trụ vẫn mang đến trở nên tứ khối nhiều diện. Thể tích khối nhiều diện chứa chấp đỉnh ${C}'$ bằng

A. $18.$

B. $12.$

C. $14.$

D. $15.$

Giải. Gọi $E=AM\cap {A}'B;F=AN\cap {A}'C.$ Ta xuất hiện phẳng lì $\left( AMN \right)$ và $\left( {A}'BC \right)$ phân tách khối lăng trụ vẫn mang đến trở nên tứ khối nhiều diện là ${A}'AEF,ABCEF,BMNCEF,{A}'{B}'{C}'MEFN.$

Theo Thales đem $\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{EB}{E{A}'}=\dfrac{BM}{A{A}'}=\dfrac{1}{2};\dfrac{FN}{FA}=\dfrac{FC}{F{A}'}=\dfrac{CN}{A{A}'}=\dfrac{1}{2}$

Do tê liệt ${{V}_{{A}'AEF}}=\dfrac{{A}'E}{{A}'B}.\dfrac{{A}'F}{{A}'C}{{V}_{{A}'ABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}V=4$ và \[{{V}_{ABCMN}}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{BM}{B{B}'}+\dfrac{CN}{C{C}'} \right)V=\dfrac{1}{3}V=9\]

\[\Rightarrow {{V}_{{A}'{B}'{C}'MEFN}}=V-\left( {{V}_{ABCMN}}+{{V}_{{A}'AEF}} \right)=27-\left( 9+4 \right)=14.\] Chọn đáp án C.

*Các em xem xét lại Bài giảng Công thức tỷ số thể tích (Simson) và Công thức tính thời gian nhanh tỷ số thể tích khoá PRO X.

Công thức 5: Mặt phẳng lì hạn chế những cạnh của khối vỏ hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ thứu tự bên trên $M,N,P,Q$ sao mang đến $\dfrac{AM}{A{A}'}=X,\dfrac{BN}{B{B}'}=y,\dfrac{CP}{C{C}'}=z,\dfrac{DQ}{D{D}'}=t$ tao đem \({V_{ABCD.MNPQ}} = \dfrac{{x + nó + z + t}}{4}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\) và $x+z=y+t.$  

Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh $2a,$ gọi $M$ là trung điểm của $B{B}'$ và $P$ nằm trong cạnh $D{D}'$ sao mang đến $DP=\dfrac{1}{4}D{D}'.$ Mặt phẳng lì $(AMP)$ hạn chế $C{C}'$ bên trên $N.$ Thể tích khối nhiều diện $AMNPQBCD$ bằng

A. $2{{a}^{3}}.$

B. $3{{a}^{3}}.$

C. $\dfrac{11}{3}{{a}^{3}}.$

D. $\dfrac{9}{4}{{a}^{3}}.$

Giải. Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=\dfrac{AA}{A{A}'}=0,y=\dfrac{BM}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{CN}{C{C}'},t=\dfrac{DP}{D{D}'}=\dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+t\Leftrightarrow 0+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=\frac{3}{4}.$

Khi tê liệt ${{V}_{AMNPBCD}}=\dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Xem thêm: Tổng hợp 20+ cách trang trí góc chủ đề STEAM đổi mới không gian lớp học

Công thức 6: Mặt phẳng lì hạn chế những cạnh của khối chóp  tứ giác $S.ABCD$ đem lòng là hình bình hành thứu tự bên trên $M,N,P,Q$ sao mang đến $\dfrac{SM}{SA}=x,\dfrac{SN}{SB}=y,\dfrac{SP}{SC}=z,\dfrac{SQ}{SD}=t$ tao đem ${{V}_{S.MNPQ}}=\dfrac{xyzt}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right){{V}_{S.ABCD}}$ và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ rất có thể tích $V$ với lòng $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng lì qua quýt $A,M,P$ hạn chế cạnh $SC$ bên trên $N$ với $M,P$ là những điểm với mọi cạnh $SB,SD$ sao mang đến $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{1}{2},\dfrac{SP}{SD}=\dfrac{2}{3}.$ Mặt Tính thể tích khối nhiều diện $ABCD.MNP.$

A. $\dfrac{23}{30}V.$

B. $\dfrac{7}{30}V.$

C. $\dfrac{14}{15}V.$

D. $\dfrac{V}{15}.$

Giải. Ta đem $x=\dfrac{SA}{SA}=1,y=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{SN}{SC},t=\dfrac{SP}{SD}=\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}\Rightarrow 1+\dfrac{1}{z}=2+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{5}.$

Do tê liệt ${{V}_{S.AMNP}}=\dfrac{xyzt}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)V=\dfrac{7}{30}V\Rightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=\dfrac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hình chóp \[S.ABCD\] đem lòng \[ABCD\] là hình bình hành và \[M\] là trung điểm của cạnh mặt mũi \[SC\]. Gọi \[\left( P.. \right)\] là mặt mũi phẳng lì chứa chấp \[AM\] và tuy vậy song với \[BD\], mặt mũi phẳng lì \[\left( P.. \right)\] hạn chế \[SB\] và \[SD\] thứu tự bên trên \[{B}'\] và \[{D}'\]. Tỷ số \[\dfrac{{{V}_{S.A{B}'M{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}\] bằng

A. \[\dfrac{1}{6}.\]

B. \[\dfrac{2}{3}.\]

C. \[\dfrac{1}{3}.\]

D. \[\dfrac{3}{4}.\]

Giải. Đặt $x=\dfrac{SA}{SA}=1;y=\dfrac{S{B}'}{SB};z=\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2};t=\dfrac{S{D}'}{SD}$ thì $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=3$

Và $\dfrac{{{V}_{S.A{B}'M{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{4}xyzt\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{3}{4}yt$

Ta đem $BD||\left( A{B}'M{D}' \right)\Rightarrow \left( A{B}'M{D}' \right)\cap \left( SBD \right)={B}'{D}'||BD\Rightarrow y=t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.A{B}'M{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hình chóp \[S.ABCD\] đem lòng là hình bình hành và rất có thể tích là \[V\]. Điểm \[P\] là trung điểm của \[SC\], một phía phẳng lì qua quýt \[AP\] hạn chế những cạnh \[SB\] và \[SD\] thứu tự bên trên \[M\] và \[N\]. Gọi \[{{V}_{1}}\] là thể tích khối chóp \[S.AMPN\]. Giá trị nhỏ nhất của \[\dfrac{{{V}_{1}}}{V}\] bằng

A. \[\dfrac{1}{3}.\]

B. \[\dfrac{2}{3}.\]

C. \[\dfrac{1}{8}.\]

D. \[\dfrac{3}{8}.\]

Giải. Đặt $x=\dfrac{SA}{SA}=1;y=\dfrac{SM}{SB};z=\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{1}{2};t=\dfrac{SN}{SD}$ thì $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=3$

Và $\dfrac{{{V}_{S.AMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{4}xyzt\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{3}{4}yt$

Ta đem $3=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{y}\dfrac{1}{t}}\Rightarrow yt\ge \dfrac{4}{9}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{3}{4}yt\ge \dfrac{1}{3}.$ Chọn đáp án A.

Công thức 9: Hai khối nhiều diện đồng dạng với tỷ số $k$ đem $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{k}^{3}}.$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ rất có thể tích $V.$ Gọi ${V}'$ là thể tích của khối tứ diện đem tứ đỉnh là trọng tâm những mặt mũi của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$

A. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{8}{27}.$

B. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{27}.$

C. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{4}{27}.$

D. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{4}{9}.$

Giải. Gọi ${A}',{B}',{C}',{D}'$ thứu tự là trọng tâm những mặt mũi $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC);$ Ta đem $\dfrac{{A}'{B}'}{AB}=\dfrac{{A}'{C}'}{AC}=\dfrac{{A}'{D}'}{AD}=\dfrac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}'$ đồng dạng với 1 khối tứ diện $ABCD$ theo gót tỉ số $k=\dfrac{1}{3}.$ 

Do đó  $\dfrac{{{V}'}}{V}={{k}^{3}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}.$ Chọn đáp án B.

Bạn hiểu cần thiết bạn dạng PDF của nội dung bài viết này hãy nhằm lại Bình luận vô phần Bình luận tức thì bên dưới Bài ghi chép này Vted tiếp tục gửi cho những bạn

Xem thêm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ: Công thức, Mẹo ghi nhớ, Bài tập (Có đáp án)

>>Xem tăng Cập nhật Đề ganh đua test chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông 2023 môn Toán đem câu nói. giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện ganh đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán giành cho teen 2K5

>>Xem thêm Tổng thích hợp những công thức tính thời gian nhanh số phức rất rất hoặc dùng- Trích bài bác giảng khoá học tập PRO X bên trên Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải thời gian nhanh Hình phẳng lì toạ chừng Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải thời gian nhanh hình toạ chừng Oxyz

>>Xem tăng kỹ năng về Cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bạn dạng nên nhớ vận dụng trong những vấn đề độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất

>>Tải về Tổng thích hợp những công thức lượng giác cần thiết nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max

TẢI VỀ BÀI VIẾT FULL CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỶ SỐ THỂ TÍCH TẠI VTED.VN