[Vted.vn] - Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Bài viết lách này Vted tổ hợp và trình làng lại một trong những công thức tính thời gian nhanh thể tích của khối tứ diện mang lại một trong những tình huống quan trọng hoặc gặp

Đồng thời trình diễn công thức tổng quát tháo tính thể tích mang lại khối tứ diện bất kì lúc biết chừng lâu năm toàn bộ 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi ghi nhớ những công thức này gom những em xử lý thời gian nhanh một trong những dạng bài bác khó khăn về thể tích khối tứ diện nhập đề ganh đua trung học phổ thông Quốc Gia 2019 - Môn Toán.

Bài viết lách này trích lược một trong những công thức thời gian nhanh hoặc sử dụng mang lại khối tứ diện. Các công thức thời gian nhanh không giống tương quan cho tới thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ độc giả tìm hiểu thêm khoá COMBO X tự Vted phát triển bên trên phía trên https://cuongthinhcorp.com.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2023-mon-toan-danh-cho-teen-2k5-18

Bạn đang xem: [Vted.vn] - Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

>>Xem thêm Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng

>>Xem đề ganh đua Thể tích tứ diện và những tình huống đặc biệt

>>Xem tăng bài bác giảng và đề ganh đua áp dụng cao Thể tích nhiều diện

>>Xem tăng Tóm tắt lý thuyết và Nón - trụ - Cầu

Công thức tổng quát: Khối tứ diện $ABCD$ đem $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ tớ đem công thức tính thể tích của tứ diện theo gót sáu cạnh như sau: \[V=\dfrac{1}{12}\sqrt{M+N+P-Q},\] nhập tê liệt \[\begin{align} & M={{a}^{2}}{{d}^{2}}({{b}^{2}}+{{e}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{a}^{2}}-{{d}^{2}}) \\ & N={{b}^{2}}{{e}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{b}^{2}}-{{e}^{2}}) \\ & P={{c}^{2}}{{f}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{b}^{2}}+{{e}^{2}}-{{c}^{2}}-{{f}^{2}}) \\ & Q={{(abc)}^{2}}+{{(aef)}^{2}}+{{(bdf)}^{2}}+{{(cde)}^{2}} \\ \end{align}\]

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện đều cạnh $a,$ tớ đem $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều phải có độ cao vày \[h\]. Thể tích của khối tứ diện tiếp tục mang lại là

A. \[V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{4}\].

B. \[V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}\].

C. \[V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}\].

D. \[V=\dfrac{2\sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}\].

Giải. Thể tích tứ diện đều cạnh $a$ là $V=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.$

Chiều cao tứ diện đều là $h=\frac{3V}{S}=\frac{3\left( \frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12} \right)}{\frac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2}{3}}a\Rightarrow a=\sqrt{\frac{3}{2}}h.$

Vì vậy $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{{\left( \sqrt{\frac{3}{2}}h \right)}^{3}}=\frac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc bên trên một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ đem $AB,AC,AD$ song một vuông góc và $AB=a,AC=b,AD=c,$ tớ đem $V=\dfrac{1}{6}abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện ngay gần đều (các cặp cạnh đối ứng vày nhau)

Với tứ diện $ABCD$ đem $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ tớ đem \[V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}.\sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}})}.\]

Ví dụ 1: Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện tiếp tục mang lại bằng

Giải. Ta đem ${{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=\frac{20\sqrt{11}}{3}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ đem $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cơ hội kể từ điểm $A$ cho tới mặt mũi phẳng lì $(CMD)$bằng  

Giải. Ta đem ${{V}_{AMCD}}=\frac{AM}{AB}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=\frac{10\sqrt{11}}{3}.$

Tam giác $MCD$ đem $CD=8$ và theo gót công thức lối trung tuyến tớ có:

$MC=\sqrt{\frac{2(C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2({{7}^{2}}+{{5}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=\sqrt{21}.$

và $MD=\sqrt{\frac{2(D{{A}^{2}}+D{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2({{5}^{2}}+{{7}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=\sqrt{21}.$

Vậy ${{S}_{MCD}}=4\sqrt{5}.$ Do tê liệt $d(A,(MCD))=\frac{3{{V}_{AMCD}}}{{{S}_{MCD}}}=\frac{10\sqrt{11}}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{55}}{2}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ đem $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ rất có thể tích bằng

A. $\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

B. $8\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

C. $2\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

D. $4\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện ngay gần đều có

${{V}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{\left( {{5}^{2}}+{{6}^{2}}-{{7}^{2}} \right)\left( {{6}^{2}}+{{7}^{2}}-{{5}^{2}} \right)\left( {{7}^{2}}+{{5}^{2}}-{{6}^{2}} \right)}{{a}^{3}}=2\sqrt{95}{{a}^{3}}.$

Chọn đáp án C.

Xem tăng bên trên đây: https://www.cuongthinhcorp.com.vn/tin-tuc/cong-thuc-tong-quat-tinh-the-tich-cua-mot-khoi-tu-dien-bat-ki-va-cac-truong-hop-dac-biet-4345.html

Công thức 4: Khối tứ diện đem khoảng cách và góc thân thiết cặp cạnh đối lập của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ đem $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=\alpha ,$ tớ đem $V=\dfrac{1}{6}abd\sin \alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ đem $AB=AC=BD=CD=1.$ Khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt độ quý hiếm lớn số 1 thì khoảng cách thân thiết hai tuyến phố trực tiếp $AD$ và $BC$ bằng

>>Lời giải chi tiết:

Ví dụ 2: Cho nhị mặt mũi cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ đem nằm trong tâm $I$ và nửa đường kính theo thứ tự ${{R}_{1}}=2,{{R}_{2}}=\sqrt{10}.$ Xét tứ diện $ABCD$ đem nhị đỉnh $A,B$ phía trên $({{S}_{1}});$ nhị đỉnh $C,D$ phía trên $({{S}_{2}}).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $3\sqrt{2}.$

B. $2\sqrt{3}.$

C. $6\sqrt{3}.$

D. $6\sqrt{2}.$

Giải. Gọi $a,b$ theo thứ tự là khoảng cách kể từ tâm $I$ cho tới hai tuyến phố trực tiếp $AB,CD.$

Ta đem $AB=2\sqrt{R_{1}^{2}-{{a}^{2}}}=2\sqrt{4-{{a}^{2}}};CD=2\sqrt{R_{2}^{2}-{{b}^{2}}}=2\sqrt{10-{{b}^{2}}}$ và $d(AB,CD)\le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ và $\sin (AB,CD)\le 1.$

Do tê liệt vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo gót khoảng cách chéo cánh nhau của cặp cạnh đối lập có:

$\begin{gathered} {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).\sin (AB,CD) \leqslant \frac{2}{3}(a + b)\sqrt {4 - {a^2}} \sqrt {10 - {b^2}} \\ = \frac{2}{3}\left( {a\sqrt {4 - {a^2}} \sqrt {10 - {b^2}} + b\sqrt {10 - {b^2}} \sqrt {4 - {a^2}} } \right) = \frac{2}{3}\left( {\sqrt {4{a^2} - {a^4}} \sqrt {10 - {b^2}} + \sqrt {\frac{{10{b^2} - {b^4}}}{2}} \sqrt {8 - 2{a^2}} } \right) \\ \leqslant \frac{2}{3}\sqrt {\left( {4{a^2} - {a^4} + 8 - 2{a^2}} \right)\left( {10 - {b^2} + \frac{{10{b^2} - {b^4}}}{2}} \right)} = \frac{2}{3}\sqrt {\left( { - {{({a^2} - 1)}^2} + 9} \right)\left( { - \frac{1}{2}{{({b^2} - 4)}^2} + 18} \right)} \leqslant \frac{2}{3}\sqrt {9.18} = 6\sqrt 2 . \\ \end{gathered} $

Dấu vày đạt bên trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho một hình trụ đem tiết diện qua quýt trục là 1 trong những hình vuông vắn cạnh vày $a.$ thạo rằng $AB$ và $CD$ là nhị 2 lần bán kính ứng của nhị lòng và góc thân thiết hai tuyến phố trực tiếp $AB$ và $CD$ vày $30{}^\circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

Có $h=2r=a;{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).\sin (AB,CD)=\frac{1}{3}.2r.2r.h.\sin {{30}^{0}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Một người công nhân mang trong mình một khối đá hình trụ. Kẻ nhị 2 lần bán kính $MN,\text{ }PQ$ theo thứ tự bên trên nhị lòng sao mang lại $MN\bot PQ.$ Người công nhân tê liệt tách khối đá theo gót những mặt phẳng cắt trải qua $3$ nhập $4$ điểm $M,\text{ }N,\text{ }P,\text{ }Q$ nhằm chiếm được khối đá đem hình tứ diện $MNPQ.$ thạo rằng thể tích khối tứ diện $MNPQ$ vày $64\text{ }d{{m}^{3}}.$ Tính thể tích của lượng đá bị tách quăng quật (làm tròn xoe sản phẩm cho tới $1$ chữ số thập phân).

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo gót khoảng cách và góc thân thiết cặp cạnh đối tớ có

${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{6}MN.PQ.d\left( MN,PQ \right).\sin \left( MN,PQ \right)=\dfrac{1}{6}.2r.2r.h.\sin {{90}^{0}}=\dfrac{2}{3}{{r}^{2}}h=\dfrac{2}{3\pi }V{{T}_{T}}$

Thể tích lượng đá bị tách quăng quật là ${{V}_{T}}-{{V}_{MNPQ}}=\left( \dfrac{3\pi }{2}-1 \right){{V}_{MNPQ}}\approx 237,6\text{ d}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích S nhị mặt mũi kề nhau

Ví dụ 1: Cho khối chóp $S.ABC$ đem lòng $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $A,AB=a,\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90{}^\circ ,$ góc thân thiết nhị mặt mũi phẳng lì $(SAB)$ và $(SAC)$ vày $60{}^\circ .$ Thể tích của khối chóp tiếp tục mang lại bằng

A. ${{a}^{3}}.$

B. $\frac{{{a}^{3}}}{3}.$

C. $\frac{{{a}^{3}}}{2}.$

D. $\frac{{{a}^{3}}}{6}.$

Lời giải cụ thể. Gọi $H=\mathbf{h/c(S,(ABC))}$ tớ đem $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SB \hfill \\ AB \bot SH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AB \bot (SBH) \Rightarrow AB \bot BH;\left\{ \begin{gathered} AC \bot SC \hfill \\ AC \bot SH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AC \bot (SCH) \Rightarrow AC \bot CH.$ Kết phù hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $A,AB=a$ suy rời khỏi $ABHC$ là hình vuông vắn.

Đặt $h=SH\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\frac{{{a}^{2}}h}{6}(1).$

Mặt không giống ${{V}_{S.ABC}}=\frac{2{{S}_{SAB}}.{{S}_{SAC}}.\sin \left( (SAB),(SAC) \right)}{3SA}=\frac{2\left( \frac{a\sqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} \right)\left( \frac{a\sqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} \right)\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}(2).$

Từ (1) và (2) suy rời khỏi $h=a\Rightarrow V=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ đem $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}={{90}^{0}},BC=a,CD=2a,\cos \left( (ABC),(ACD) \right)=\dfrac{\sqrt{130}}{65}.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $\frac{{{a}^{3}}}{3}.$

B. ${{a}^{3}}.$

C. $\frac{2{{a}^{3}}}{3}.$

D. $3{{a}^{3}}.$

Xem thêm: Cổ Phiếu Tiếng Anh Là Gì? Những Điều Cần Biết Về Cổ Phiếu

Lời giải cụ thể. Gọi $H=\mathbf{h/c(A,(BCD))}.$ Đặt $AH=h\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{BCD}}.AH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}CB.CD.AH=\frac{{{a}^{2}}h}{3}(1).$

Ta đem $\left\{ \begin{gathered} CB \bot BA \hfill \\ CB \bot AH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow CB \bot (ABH) \Rightarrow CB \bot HB.$ Tương tự động $\left\{ \begin{gathered} CD \bot DA \hfill \\ CD \bot AH \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow CD \bot (ADH) \Rightarrow CD \bot HD.$

Kết phù hợp với $\widehat{BCD}={{90}^{0}}\Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy rời khỏi $AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}},AD=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}};AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}.$

Suy rời khỏi ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{a\sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}}{2};{{S}_{ACD}}=\frac{1}{2}AD.DC=a\sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}.$

Suy rời khỏi ${{V}_{ABCD}}=\frac{2{{S}_{ABC}}.{{S}_{ACD}}.\sin \left( (ABC),(ACD) \right)}{3AC}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}\sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}}{3\sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}}\sqrt{1-{{\left( \frac{\sqrt{130}}{65} \right)}^{2}}}(2).$

Kết thích hợp (1), (2) suy ra: $h=3a\Rightarrow {{V}_{ABCD}}={{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ đem lòng là hình thoi cạnh $a,\widehat{ABC}={{120}^{0}}.$ Cạnh mặt mũi $SA$ vuông góc với lòng và góc thân thiết nhị mặt mũi phẳng lì $(SBC),(SCD)$ vày ${{60}^{0}},$ Khi tê liệt $SA$ bằng

Có $SA=x>0\Rightarrow {{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{BCD}}.SA=\dfrac{\sqrt{3}x}{12}(1),\left( a=1 \right).$

Mặt không giống ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{2{{S}_{SBC}}.{{S}_{SCD}}.\sin \left( (SBC),(SCD) \right)}{3SC}=\dfrac{2{{\left( \dfrac{\sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{{{x}^{2}}+3}}(2).$

Trong tê liệt $BC=1,SB=\sqrt{{{x}^{2}}+1},SC=\sqrt{{{x}^{2}}+3}\Rightarrow {{S}_{SBC}}=\dfrac{\sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4};\Delta SBC=\Delta SDC(c-c-c)\Rightarrow {{S}_{SCD}}=\dfrac{\sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4}.$

Từ (1) và (2) suy rời khỏi \[x=\dfrac{\sqrt{6}}{4}.\] Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ đem $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều cạnh vày $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

Có ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{2{{S}_{ABC}}{{S}_{ABD}}\sin \left( (ABC),(ABD) \right)}{3AB}=\dfrac{2\left( \dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} \right)\left( \dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} \right)}{3a}\sin \left( (ABC),(ABD) \right)\le \dfrac{2\left( \dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} \right)\left( \frac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} \right)}{3a}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$

Dấu vày đạt bên trên $(ABC)\bot (ABD).$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem diện tích S tam giác ${A}'BC$ vày $4,$ khoảng cách kể từ $A$ cho tới $BC$ vày $3,$ góc thân thiết nhị mặt mũi phẳng lì $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ vày $30{}^\circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng

A. $3\sqrt{3}.$ B. $6.$                         C. $2.$         D. $12.$

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện mang lại tình huống biết góc và diện tích S của nhị mặt

${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{{A}'.ABC}}=3\left( \dfrac{2{{S}_{{A}'BC}}.{{S}_{ABC}}.\sin \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)}{3BC} \right)$

$=\dfrac{{{S}_{{A}'BC}}.d\left( A,BC \right).BC.\sin \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)}{BC}={{S}_{{A}'BC}}.d\left( A,BC \right).\sin \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=4.3.\dfrac{1}{2}=6.$ Chọn đáp án B.

Công thức 6:Mở rộng lớn mang lại khối chóp đem diện tích S mặt mũi mặt và mặt mũi đáy

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ đem $V=\dfrac{2{{S}_{S{{A}_{1}}{{A}_{2}}}}.{{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}.\sin \left( (S{{A}_{1}}{{A}_{2}}),({{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}) \right)}{3{{A}_{1}}{{A}_{2}}}.$

Công thức 7: Khối tứ diện lúc biết những góc bên trên và một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ đem $SA=a,SB=b,SC=c,\widehat{BSC}=\alpha ,\widehat{CSA}=\beta ,\widehat{ASA}=\gamma .$

Khi tê liệt $V=\dfrac{abc}{6}\sqrt{1+2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -{{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\beta -{{\cos }^{2}}\gamma }.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ đem $SA=a,SB=2a,SC=4a$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{60}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo gót $a.$

A. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

B. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

D. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo gót những góc bên trên một đỉnh tớ có

${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{6}SA.SB.SC\sqrt{1+2\cos \widehat{ASB}\cos \widehat{BSC}\cos \widehat{CSA}-{{\cos }^{2}}\widehat{ASB}-{{\cos }^{2}}\widehat{BSC}-{{\cos }^{2}}\widehat{CSA}}$

$=\dfrac{1}{6}a.2a.4a\sqrt{1+2\left( \dfrac{1}{2} \right)\left( \dfrac{1}{2} \right)\left( \dfrac{1}{2} \right)-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}.$

Chọn đáp án B.

https://cuongthinhcorp.com.vn/tin-tuc/cong-thuc-tong-quat-tinh-the-tich-cua-mot-khoi-tu-dien-bat-ki-va-cac-truong-hop-dac-biet-4345.html

Cách 2:

Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ \[ABC.{A}'{B}'{C}'\] đem $\widehat{A{A}'B}=\widehat{B{A}'C}=\widehat{C{A}'A}={{60}^{0}}$ và $A{A}'=3a,B{A}'=4a,C{A}'=5a.$ Thể tích khối lăng trụ tiếp tục mang lại bằng

Giải. Ta đem ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{{A}'.ABC}}$ và vận dụng công thức tính thể tích khối tứ diện theo gót những góc bên trên một đỉnh tớ được

$=3.\dfrac{1}{6}{A}'A.{A}'B.{A}'C\sqrt{1+2\cos \widehat{A{A}'B}\cos \widehat{B{A}'C}\cos \widehat{C{A}'A}-{{\cos }^{2}}\widehat{A{A}'B}-{{\cos }^{2}}\widehat{B{A}'C}-{{\cos }^{2}}\widehat{C{A}'A}}$

$=\dfrac{1}{2}.3a.4a.5a\sqrt{1+2{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{3}}-3{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=15\sqrt{2}{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ đem $AB=5,CD=\sqrt{10},AC=2\sqrt{2},BD=3\sqrt{3},AD=\sqrt{22},BC=\sqrt{13}$ rất có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải. Tứ diện này còn có chừng lâu năm toàn bộ những cạnh tớ tính những góc bên trên một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa vào 3 góc bắt nguồn từ nằm trong 1 đỉnh:

Có $\left\{ \begin{gathered}\hfill \cos \widehat{BAD}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2AB.AD}=\sqrt{\dfrac{2}{11}} \\ \hfill \cos \widehat{DAC}=\dfrac{A{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2AD.AC}=\dfrac{5}{2\sqrt{11}} \\ \hfill \cos \widehat{CAB}=\dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AC.AB}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{gathered} \right..$

Vì vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}.5.2\sqrt{2}.\sqrt{22}\sqrt{1+2\sqrt{\dfrac{2}{11}}\dfrac{5}{2\sqrt{11}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}-{{\left( \sqrt{\dfrac{2}{11}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{5}{2\sqrt{11}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}=5.$

Chọn đáp án B.

>>Xem thêm Tổng thích hợp toàn bộ những công thức tính thời gian nhanh nửa đường kính mặt mũi cầu nước ngoài tiếp khối nhiều diện

Combo 4 Khoá Luyện ganh đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán giành riêng cho teen 2K5

>>Xem thêm: Công thức tổng quát tháo thể tích khối chóp đều

>>Xem thêm Tổng thích hợp những công thức tính thời gian nhanh số phức vô cùng hoặc dùng- Trích bài bác giảng khoá học tập PRO X bên trên Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải thời gian nhanh Hình phẳng lì toạ chừng Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải thời gian nhanh hình toạ chừng Oxyz

>>Xem tăng kỹ năng và kiến thức về Cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ phiên bản chú ý vận dụng trong những việc độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất

>>Tải về Tổng thích hợp những công thức lượng giác cần thiết nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max

Xem thêm: 70+ từ vựng về các phòng trong nhà bằng tiếng Anh