30 bài tập đạo hàm cấp cao - loigiaihay.com

Câu căn vặn 1 :

Cho \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 5,\) tính \(f''\left( 1 \right).\)

Bạn đang xem: 30 bài tập đạo hàm cấp cao - loigiaihay.com

  • A \(f''\left( 1 \right) =  - 3.\)
  • B \(f''\left( 1 \right) = 2.\)
  • C \(f''\left( 1 \right) = 4.\) 
  • D \(f''\left( 1 \right) =  - 1.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm cơ phiên bản nhằm tính.

Lời giải chi tiết:

Ta đem  \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x,\,\,f''\left( x \right) = 6x - 4 \Rightarrow f''\left( 1 \right) = 2.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 2 :

 Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\), độ quý hiếm của \(f''\left( 1 \right)\) bằng: 

  • A 6
  • B 8
  • C 3
  • D 2

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho nhị của hàm số f(x), dùng bảng đạo hàm cơ phiên bản.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align} & f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2\Rightarrow f''\left( x \right)=6x \\ & \Rightarrow f''\left( 1 \right)=6 \\ \end{align}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 3 :

Hàm số \(y=\frac{x}{x-2}\) đem đạo hàm cấp cho nhị là:

  • A  \(y''=0\)                      
  • B  \(y''=\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\)              
  • C \(y''=-\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\)              
  • D  \(y''=\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho 1, tiếp sau đó tính đạo hàm cấp cho 2.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1.\left( x-2 \right)-x.1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \\   y''=\frac{\left( -2 \right)'{{\left( x-2 \right)}^{2}}-\left( -2 \right).\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right)'}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4\left( x-2 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 4 :

Hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}\) đem đạo hàm cấp cho phụ vương là:

  • A \(y'''=12x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\)                                    
  • B \(y'''=24x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\)            
  • C \(y'''=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right)\)                                  
  • D  \(y'''=-12x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cách 1: Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp ý tính theo lần lượt đạo hàm cấp cho một, cấp cho nhị, cấp cho phụ vương.

Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức \({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\) trước lúc tính đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

\(\begin{align}  y'=3{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)'=6x{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}} \\   y''=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+6x.2\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x \\   \,\,\,\,\,\,=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+24{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\   y'''=12\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x+24.2x.\left( {{x}^{2}}+1 \right)+24{{x}^{2}}.2x \\   \,\,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48{{x}^{3}} \\   \,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1+2\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2{{x}^{2}} \right)=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\)

Cách 2:

 \(\begin{align}   y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1 \\  y'=6{{x}^{5}}+12{{x}^{3}}+6x \\   y''=30{{x}^{4}}+36{{x}^{2}}+6 \\   y'''=120{{x}^{3}}+72x=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 5 :

Hàm số \(y=\sqrt{2x+5}\) đem đạo hàm cấp cho nhị bằng:

  • A  \(y''=\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}}\)                                
  • B  \(y''=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\)                       
  • C  \(y''=-\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}}\)                              
  • D  \(y''=-\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ý \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\,\,\left( {{u}^{n}} \right)'=n.{{u}^{n-1}}.u'\), và dùng công thức lũy quá \(\sqrt[m]{{{x}^{n}}}={{x}^{\frac{n}{m}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{\left( 2x+5 \right)'}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}={{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}}} \\   y''=-\frac{1}{2}.{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}-1}}.\left( 2x+5 \right)' \\   \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{2}{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{3}{2}}}.2 \\   \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{{{\left( 2x+5 \right)}^{\frac{3}{2}}}}=-\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 6 :

Đạo hàm cấp cho nhị của hàm số \(y=\tan x\) bằng:

  • A  \(y''=-\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\)                    
  • B  \(y''=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\)                 
  • C  \(y''=-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\)                
  • D \(y''=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ phiên bản và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ý \(\left( \frac{1}{u} \right)'=\frac{-u'}{{{u}^{2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{-\left( {{\cos }^{2}}x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 7 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)={{\left( 2x+5 \right)}^{5}}\). Có đạo hàm cấp cho 3 bằng:

  • A  \(f'''\left( x \right)=80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\)                          
  • B  \(f'''\left( x \right)=480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\)
  • C \(f'''\left( x \right)=-480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\)                                    
  • D  \(f'''\left( x \right)=-80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ý \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n{{u}^{n-1}}.u’\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   f'\left( x \right)=5{{\left( 2x+5 \right)}^{4}}\left( 2x+5 \right)'=10{{\left( 2x+5 \right)}^{4}} \\   f''\left( x \right)=40{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\left( 2x+5 \right)'=80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}} \\   f'''\left( x \right)=240{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\left( 2x+5 \right)'=480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}} \\ \end{align}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 8 :

Giả sử \(h\left( x \right)=5{{\left( x+1 \right)}^{3}}+4\left( x+1 \right)\). Tập nghiệm của phương trình \(h''\left( x \right)=0\) là:

  • A  \(\left[ -1;2 \right]\)                            
  • B  \(\left( -\infty ;0 \right]\)                                
  • C  \(\left\{ -1 \right\}\)                           
  • D  \(\varnothing \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho nhị của hàm số và giải phương trình \(h''\left( x \right)=0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   h'\left( x \right)=15{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4 \\   h''\left( x \right)=30\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1 \\ \end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 9 :

Xét \(y=f\left( x \right)=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\). Phương trình \({{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=-8\) đem nghiệm \(x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là:

  • A \(x=\frac{\pi }{2}\)                
  • B  \(x=0\) hoặc \(x=\frac{\pi }{6}\)                   
  • C \(x=0\) hoặc \(x=\frac{\pi }{3}\)                    
  • D \(x=0\) hoặc \(x=\frac{\pi }{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm cấp cho 4 của hàm số vẫn cho tới. Sử dụng công thức tính đạo hàm

\(\left( \sin u \right)'=u'.\cos u;\,\,\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\)

+) Giải phương trình lượng giác.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f''\left( x \right) =  - 4\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f'''\left( x \right) = 8\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 16\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) =  - 8 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 10 :

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=-\frac{1}{x}\). Xét nhị mệnh đề:

(I): \(y''=f''\left( x \right)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\)                  (II): \(y'''=f'''\left( x \right)=-\frac{6}{{{x}^{4}}}\)

Mệnh đề này đúng?

  • A  Chỉ (I)                       
  • B  Chỉ (II) đúng             
  • C  Cả nhị đều đúng                    
  • D  Cả nhị đều sai.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho nhị và đạo hàm cấp cho phụ vương của hàm số lúc đầu, dùng công thức \(\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\), so sánh với nhị mệnh đề của đề bài bác cho tới, xét tính trúng sai của những mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1}{{{x}^{2}}} \\   y''=-\frac{\left( {{x}^{2}} \right)'}{{{x}^{4}}}=-\frac{2x}{{{x}^{4}}}=-\frac{2}{{{x}^{3}}} \\   y'''=-2.\frac{-\left( {{x}^{3}} \right)'}{{{x}^{6}}}=\frac{2.3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=\frac{6}{{{x}^{4}}} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 11 :

Cho hàm số \(y=\sin 2x\). Hãy lựa chọn câu đúng?

  • A  \(4y-y''=0\)                 
  • B  \(4y+y''=0\)                
  • C  \(y=y'\tan 2x\)                        
  • D  \({{y}^{2}}={{\left( y' \right)}^{2}}=4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính những đạo hàm cấp cho một và cấp cho nhị của hàm số, tiếp sau đó demo từng đáp án nhằm chọn lựa được đáp án trúng.

Lời giải chi tiết:

\(y'=2\cos 2x;\,\,y''=-4\sin 2x=-4y\Leftrightarrow 4y+y''=0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 12 :

Hàm số \(y=x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) đem đạo hàm cấp cho nhị bằng:

  • A  \(y''=-\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)                          
  • B \(y''=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)
  • C  \(y''=\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)                           
  • D  \(y''=-\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng những quy tắc tính đạo hàm của một tích, đạo hàm của một thương. Lưu ý những hàm số hợp ý.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}y'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x.\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\   y''=\frac{4x\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right).\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{\frac{4x\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{4{{x}^{3}}+4x-2{{x}^{3}}-x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 13 :

Nếu \(f''\left( x \right)=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\), thì f(x) bằng:

  • A  \(\frac{1}{\cos x}\)                           
  • B \(-\frac{1}{\cos x}\)                          
  • C  \(\cot x\)                                 
  • D  \(\tan x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thử từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A:

\(\begin{align}   y=\frac{1}{\cos x} \\   y'=\frac{-\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}}=\frac{{{\cos }^{3}}x+2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án B:

\(\begin{align}   y=-\frac{1}{\cos x} \\   y'=\frac{\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=-\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=-\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{-{{\cos }^{3}}x-2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án C:

\(\begin{align}   y=\cot x \\   y'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\   y'=\frac{2\sin x\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\cos x}{{{\sin }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án D:

\(\begin{align}   y=\tan x \\   y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{-2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 14 :

Với \(f\left( x \right)={{\sin }^{3}}x+{{x}^{2}}\) thì \(f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)\) bằng:

  • A 0
  • B 1
  • C -2
  • D 5

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho nhị của hàm số bên trên, tiếp sau đó thay cho \(x=-\frac{\pi }{2}\) và tính \(f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   f'\left( x \right)=3{{\sin }^{2}}x\left( \sin x \right)'+2x=3{{\sin }^{2}}x\cos x+2x \\   f''\left( x \right)=3.\left( {{\sin }^{2}}x \right)'.\cos x+3{{\sin }^{2}}x.\left( \cos x \right)'+2 \\   \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x\left( \sin x \right)'\cos x-3{{\sin }^{2}}x.\sin x+2 \\   \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x{{\cos }^{2}}x-3{{\sin }^{3}}x+2 \\   f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=6\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right){{\cos }^{2}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)-3{{\sin }^{3}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)+2=3+2=5. \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 15 :

Cho hàm số \(y=\sin x\). Chọn câu sai ?

  • A  \(y'=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\)                                            
  • B \(y''=\sin \left( x+\pi  \right)\)              
  • C  \(y'''=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)\)                                         
  • D  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=\sin \left( 2\pi -x \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho một, nhị, phụ vương, chuyển đổi những công thức lượng giác và suy đi ra đáp án sai.

Lời giải chi tiết:

\(y'=\cos x=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án A trúng.

\(y''=-\sin x=\sin \left( x+\pi  \right)\Rightarrow \) Đáp án B trúng.

\(y'''=-\cos x=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án C trúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 16 :

Cho hàm số \(y=\cos x\). Khi cơ \({{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)\) bằng:

Xem thêm: Hồ Ly Phong Thủy Và Những Điều Cần Biết Khi Đeo - Phong Thủy An Nhiên

  • A \(-\cos x\)                                
  • B \(\sin x\)                                  
  • C  \(-\sin x\)                                
  • D  \(\cos x\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm những cấp cho của hàm số lúc đầu và suy đi ra quy luật của những đạo hàm cấp cao, tiếp sau đó suy đi ra \({{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'\left( x \right)=-\sin x \\   y''\left( x \right)=-\cos x \\   y'''\left( x \right)=\sin x \\   {{y}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=\cos x=y \\   {{y}^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)=-\sin x=y' \\   {{y}^{\left( 6 \right)}}\left( x \right)=-\cos x=y'' \\   {{y}^{\left( 7 \right)}}\left( x \right)=\sin x=y''' \\   .... \\ \end{align}\)

Ta có: \(2018=504.4+2\Rightarrow {{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)=y''\left( x \right)=-\cos x\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 17 :

Đạo hàm cấp cho 4 của hàm số \(y=\sin 5x.\sin 3x\) là :

  • A  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=-2048\cos 8x+8\cos 2x\)                          
  • B  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=2048\cos 8x-8\cos 2x\)
  • C  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=1024\cos 16x+4\cos 4x\)                         
  • D  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=2048\cos 8x-4\cos 4x\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chuyển đổi tích trở thành tổng \(\sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left( \cos \left( a+b \right)-\cos \left( a-b \right) \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y=\sin 5x.\sin 3x=-\frac{1}{2}\left( \cos 8x-\cos 2x \right) \\   \Rightarrow y'=-\frac{1}{2}\left( -8\sin 8x+2\sin 2x \right)=4\sin 8x-\sin 2x \\   \,\,\,\,\,\,y''=32\cos 8x-2\cos 2x \\   \,\,\,\,\,\,y'''=-256\sin 8x+4\sin 2x \\   \,\,\,\,\,\,{{y}^{\left( 4 \right)}}=-2048\cos 8x+8\cos 2x \\ \end{align}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 18 :

Một hóa học điểm hoạt động trực tiếp xác lập vì thế phương trình \(s={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t+1\) nhập cơ t là giây, s là mét. Gia tốc hoạt động khi t = 2 là:

  • A  \(12\,m/{{s}^{2}}\)                          
  • B  \(8\,m/{{s}^{2}}\)                            
  • C  \(7\,m/{{s}^{2}}\)                            
  • D  \(6\,m/{{s}^{2}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(a=s''\), tính đạo hàm cấp cho nhị của hàm số \(s={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t+1\), tiếp sau đó tính \(a\left( 2 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{align}   a=v'=\left( s' \right)'=s'' \\   s'=3{{t}^{2}}-4t+4 \\   s''=6t-4=a \\   a\left( 2 \right)=6.2-4=8\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right) \\ \end{align}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 19 :

 Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}.\) Tìm \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right).\)

  • A   \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}\) 
  • B \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}\)
  • C   \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}\)                                
  • D  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính những đạo hàm cấp cho một, cấp cho nhị, cấp cho phụ vương và suy đi ra quy luật.

Lời giải chi tiết:

Ta đem \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+1}{-\left( x-1 \right)}=-x-1-\frac{1}{x-1}\)

\(\begin{align}  & f'\left( x \right)=-1+\frac{1!}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};f''\left( x \right)=-\frac{2!}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}},{{f}^{\left( 3 \right)}}=\frac{3!}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}};.... \\  & \Rightarrow {{f}^{\left( 30 \right)}}=-\frac{30!}{{{\left( x-1 \right)}^{31}}}=\frac{30!}{{{\left( 1-x \right)}^{31}}} \\ \end{align}\)

Đáp án B.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn đôi mươi :

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{2x-1}\) Tính \(f'''\left( 1 \right)\)

  • A \(3\)                          
  • B    \(-3\)                        
  • C    \(\frac{3}{2}\)                                    
  • D \(0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm cấp cho 3 của hàm số tiếp sau đó thay cho \(x=1\) nhập nhằm tính \(f'''\left( 1 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\Rightarrow f''\left( x \right)=\frac{-\left( \sqrt{2x-1} \right)'}{2x-1}=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}}\)

\(\Rightarrow f'''\left( x \right)=\frac{\left( \sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}} \right)'}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{2x-1}}{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=3\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 21 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}}\). Đạo hàm cấp cho 2018 của hàm số \(f\left( x \right)\) là:

  • A  \({f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{2018!{x^{2018}}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2018}}}}\)           
  • B  \({f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\)
  • C  \({f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) =  - \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\)      
  • D  \({f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{2018!{x^{2018}}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = \dfrac{{u'}}{u}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}} = \dfrac{{{x^2} - 1 + 1}}{{1 - x}} =  - x - 1 + \dfrac{1}{{1 - x}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 1 + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,f''\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\\\,\,\,\,\,f'''\left( x \right) = \dfrac{{2.3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} = \dfrac{{2.3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\.......\\ \Rightarrow {f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{ - 2.3...2018}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} =  - \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} = \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 22 :

Cho hoạt động trực tiếp xác lập vì thế phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2}\) (\(t\) tính vì thế giây, \(s\) tính vì thế mét). Khẳng lăm le này tại đây đúng?

  • A Gia tốc của hoạt động khi \(t = 3s\) là \(v = 24m/s\)  
  • B Gia tốc của hoạt động khi \(t = 4s\) là \(a = 9m/{s^2}\) 
  • C Gia tốc của hoạt động khi \(t = 3s\) là \(v = 12m/s\)
  • D Gia tốc của hoạt động khi \(t = 4s\) là \(a = 18m/{s^2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

 Sử dụng côn trùng quan lại hệ: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = s''\left( t \right)\) nhằm tính tốc độ \(a\) bên trên thời khắc \(t\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t;\,\,\,a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t - 6\)

Do cơ bên trên \(t = 3s\) thì \(a = 12m/{s^2}\) (loại A, C)

Tại \(t = 4s\) thì \(a = 18m/{s^2}\) (loại B)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 23 :

Đạo hàm cấp cho nhị của hàm số \(y = \sin x\) là:

  • A \(\cos x\)
  • B \( - \cos x\)
  • C \(\sin x\)
  • D \( - \sin x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,y'' = \left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 24 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}}\). Khẳng lăm le này tại đây đúng?

  • A \(y'' - nó = 0.\)
  • B \(2y'' - 3y = 0.\)
  • C \(2y'' + nó = 0.\)
  • D \(y'' + nó = 0.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Rút gọn gàng biểu thức. Tính \(y''\) và đánh giá từng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}} = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}}\\ = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}} = \sin x + \cos x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \cos x - \sin x,\,\,y'' =  - \sin x - \cos x =  - y\\ \Rightarrow y'' + nó = 0\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 25 :

Hàm số này tại đây thỏa mãn nhu cầu đẳng thức \(xy - 2y' + xy'' =  - 2\cos x\).

  • A \(y = x\cos x\)                     
  • B \(y = 2x\sin x\)                       
  • C \(y = x\sin x\)                         
  • D \(y = 2x\cos x\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính \(y',\,\,y''\) của những hàm số ở từng đáp án tiếp sau đó thay cho nhập đẳng thức đề bài bác cho tới coi đem thỏa mãn nhu cầu hoặc không?

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A tao có:

\(\begin{array}{l}y' = \cos x - x\sin x,\,\,y'' =  - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right) =  - 2\sin x - x\cos x\\ \Rightarrow xy - 2y' + xy'' = {x^2}\cos x - 2\cos x + 2x\sin x - 2x\sin x - {x^2}\cos x =  - 2\cos x\end{array}\)

Vậy đáp án A trúng.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 26 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}\) và \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}}\)

  • A \(3\)                                      
  • B \(\dfrac{5}{3}\)                      
  • C \(\dfrac{{10}}{3}\)                  
  • D \(5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Tính \(f'\left( x \right),\,\,f''\left( x \right) \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right),\,\,g'\left( x \right) \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right)\)

+) Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - x \Rightarrow f''\left( x \right) = 6x - 1 \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right) = 6\sin 5x - 1\\g'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right) = 2\sin 3x - 3\end{array}\)

Ta đem \(\dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \dfrac{{6\sin 5x - 1 + 1}}{{2\sin 3x + 3 - 3}} = \dfrac{{6\sin 5x}}{{2\sin 3x}} = 3\dfrac{{\sin 5x}}{{\sin 3x}}\)

 \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\sin 5x}}{{\sin 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}.5}}{{\dfrac{{\sin 3x}}{{3x}}.3}} = 5\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 27 :

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ dùng thị hàm số \(y = f\left( x \right) =  - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} - 3x\) bên trên điểm đem hoành chừng \({x_0}\) nhưng mà \(f''\left( {{x_0}} \right) = 6\) .

  • A \(y=- 8x + \dfrac{8}{3}\)
  • B \(y=- 8x - \dfrac{8}{3}\)
  • C \(y=8x - \dfrac{8}{3}\)
  • D \(y= 8x + \dfrac{8}{3}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ dùng thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) bên trên điểm đem hoành chừng \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 \Rightarrow f''\left( x \right) =  - 2x + 4\)

\(f''\left( {{x_0}} \right) = 6 \Leftrightarrow  - 2{x_0} + 4 = 6 \Leftrightarrow {x_0} =  - 1\)

Ta đem \(f'\left( { - 1} \right) =  - 8,\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ dùng thị hàm số bên trên điểm \({x_0} =  - 1\) là \(y =  - 8\left( {x + 1} \right) + \dfrac{{16}}{3} =  - 8x - \dfrac{8}{3}\).

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 28 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\). Tính \(y''\left( 0 \right)\).

  • A \( - 2\)
  • B \( - 4\)
  • C \(2\)
  • D \(4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2.2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow y''\left( 0 \right) =  - 4\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 29 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}.\) Tìm \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right):\)

  • A  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}.\)                                                    
  • B  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}.\)
  • C  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}.\)                                                   
  • D  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}.\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

 Ta đem \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{1-x}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=-\,1-x+\frac{1}{1-x}\Rightarrow \,\,{f}'\left( x \right)=-\,1+\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-\,1+{{\left( 1-x \right)}^{-\,2}}.\)

Suy đi ra \({f}''\left( x \right)=\,2.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}=2!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}\Rightarrow \,\,{f}'''\left( x \right)=2.3.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}=3!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}.\)

Vậy \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,31}}.\) Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu căn vặn 30 :

Hàm số này sau đây đem đạo hàm cấp cho 2 là \(6x\).

  • A \(y = 2{x^3}\)
  • B \(y = {x^2}\)
  • C \(y = {x^3}\)
  • D \(y = 3{x^2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm cơ phiên bản \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: \(y' = 2.3{x^2} = 6x \Rightarrow y'' = 6\).

Xét đáp án B: \(y' = 2x \Rightarrow y'' = 2\).

Xem thêm: Top 100 ảnh anime nam làm ảnh đại diện đẹp nhất

Xét đáp án C: \(y' = 3{x^2} \Rightarrow y'' = 3.2x = 6x\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải