30 bài tập đạo hàm cấp cao - loigiaihay.com

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm cơ phiên bản nhằm tính.

Lời giải chi tiết:

Ta đem  \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x,\,\,f''\left( x \right) = 6x - 4 \Rightarrow f''\left( 1 \right) = 2.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho nhị của hàm số f(x), dùng bảng đạo hàm cơ phiên bản.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align} & f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2\Rightarrow f''\left( x \right)=6x \\ & \Rightarrow f''\left( 1 \right)=6 \\ \end{align}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho 1, tiếp sau đó tính đạo hàm cấp cho 2.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1.\left( x-2 \right)-x.1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \\   y''=\frac{\left( -2 \right)'{{\left( x-2 \right)}^{2}}-\left( -2 \right).\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right)'}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4\left( x-2 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cách 1: Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp ý tính theo lần lượt đạo hàm cấp cho một, cấp cho nhị, cấp cho phụ vương.

Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức \({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\) trước lúc tính đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

\(\begin{align}  y'=3{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)'=6x{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}} \\   y''=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+6x.2\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x \\   \,\,\,\,\,\,=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+24{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\   y'''=12\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x+24.2x.\left( {{x}^{2}}+1 \right)+24{{x}^{2}}.2x \\   \,\,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48{{x}^{3}} \\   \,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1+2\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2{{x}^{2}} \right)=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\)

Cách 2:

 \(\begin{align}   y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1 \\  y'=6{{x}^{5}}+12{{x}^{3}}+6x \\   y''=30{{x}^{4}}+36{{x}^{2}}+6 \\   y'''=120{{x}^{3}}+72x=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ý \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\,\,\left( {{u}^{n}} \right)'=n.{{u}^{n-1}}.u'\), và dùng công thức lũy quá \(\sqrt[m]{{{x}^{n}}}={{x}^{\frac{n}{m}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{\left( 2x+5 \right)'}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}={{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}}} \\   y''=-\frac{1}{2}.{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}-1}}.\left( 2x+5 \right)' \\   \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{2}{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{3}{2}}}.2 \\   \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{{{\left( 2x+5 \right)}^{\frac{3}{2}}}}=-\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ phiên bản và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ý \(\left( \frac{1}{u} \right)'=\frac{-u'}{{{u}^{2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{-\left( {{\cos }^{2}}x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ý \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n{{u}^{n-1}}.u’\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   f'\left( x \right)=5{{\left( 2x+5 \right)}^{4}}\left( 2x+5 \right)'=10{{\left( 2x+5 \right)}^{4}} \\   f''\left( x \right)=40{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\left( 2x+5 \right)'=80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}} \\   f'''\left( x \right)=240{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\left( 2x+5 \right)'=480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}} \\ \end{align}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho nhị của hàm số và giải phương trình \(h''\left( x \right)=0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   h'\left( x \right)=15{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4 \\   h''\left( x \right)=30\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1 \\ \end{align}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm cấp cho 4 của hàm số vẫn cho tới. Sử dụng công thức tính đạo hàm

\(\left( \sin u \right)'=u'.\cos u;\,\,\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\)

+) Giải phương trình lượng giác.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f''\left( x \right) =  - 4\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f'''\left( x \right) = 8\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 16\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) =  - 8 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho nhị và đạo hàm cấp cho phụ vương của hàm số lúc đầu, dùng công thức \(\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\), so sánh với nhị mệnh đề của đề bài bác cho tới, xét tính trúng sai của những mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1}{{{x}^{2}}} \\   y''=-\frac{\left( {{x}^{2}} \right)'}{{{x}^{4}}}=-\frac{2x}{{{x}^{4}}}=-\frac{2}{{{x}^{3}}} \\   y'''=-2.\frac{-\left( {{x}^{3}} \right)'}{{{x}^{6}}}=\frac{2.3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=\frac{6}{{{x}^{4}}} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính những đạo hàm cấp cho một và cấp cho nhị của hàm số, tiếp sau đó demo từng đáp án nhằm chọn lựa được đáp án trúng.

Lời giải chi tiết:

\(y'=2\cos 2x;\,\,y''=-4\sin 2x=-4y\Leftrightarrow 4y+y''=0\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng những quy tắc tính đạo hàm của một tích, đạo hàm của một thương. Lưu ý những hàm số hợp ý.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}y'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x.\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\   y''=\frac{4x\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right).\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{\frac{4x\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{4{{x}^{3}}+4x-2{{x}^{3}}-x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thử từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A:

\(\begin{align}   y=\frac{1}{\cos x} \\   y'=\frac{-\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}}=\frac{{{\cos }^{3}}x+2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án B:

\(\begin{align}   y=-\frac{1}{\cos x} \\   y'=\frac{\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=-\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=-\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{-{{\cos }^{3}}x-2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án C:

\(\begin{align}   y=\cot x \\   y'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\   y'=\frac{2\sin x\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\cos x}{{{\sin }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án D:

\(\begin{align}   y=\tan x \\   y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{-2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho nhị của hàm số bên trên, tiếp sau đó thay cho \(x=-\frac{\pi }{2}\) và tính \(f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   f'\left( x \right)=3{{\sin }^{2}}x\left( \sin x \right)'+2x=3{{\sin }^{2}}x\cos x+2x \\   f''\left( x \right)=3.\left( {{\sin }^{2}}x \right)'.\cos x+3{{\sin }^{2}}x.\left( \cos x \right)'+2 \\   \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x\left( \sin x \right)'\cos x-3{{\sin }^{2}}x.\sin x+2 \\   \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x{{\cos }^{2}}x-3{{\sin }^{3}}x+2 \\   f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=6\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right){{\cos }^{2}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)-3{{\sin }^{3}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)+2=3+2=5. \\ \end{align}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp cho một, nhị, phụ vương, chuyển đổi những công thức lượng giác và suy đi ra đáp án sai.

Lời giải chi tiết:

\(y'=\cos x=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án A trúng.

\(y''=-\sin x=\sin \left( x+\pi  \right)\Rightarrow \) Đáp án B trúng.

\(y'''=-\cos x=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án C trúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm những cấp cho của hàm số lúc đầu và suy đi ra quy luật của những đạo hàm cấp cao, tiếp sau đó suy đi ra \({{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'\left( x \right)=-\sin x \\   y''\left( x \right)=-\cos x \\   y'''\left( x \right)=\sin x \\   {{y}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=\cos x=y \\   {{y}^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)=-\sin x=y' \\   {{y}^{\left( 6 \right)}}\left( x \right)=-\cos x=y'' \\   {{y}^{\left( 7 \right)}}\left( x \right)=\sin x=y''' \\   .... \\ \end{align}\)

Ta có: \(2018=504.4+2\Rightarrow {{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)=y''\left( x \right)=-\cos x\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chuyển đổi tích trở thành tổng \(\sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left( \cos \left( a+b \right)-\cos \left( a-b \right) \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y=\sin 5x.\sin 3x=-\frac{1}{2}\left( \cos 8x-\cos 2x \right) \\   \Rightarrow y'=-\frac{1}{2}\left( -8\sin 8x+2\sin 2x \right)=4\sin 8x-\sin 2x \\   \,\,\,\,\,\,y''=32\cos 8x-2\cos 2x \\   \,\,\,\,\,\,y'''=-256\sin 8x+4\sin 2x \\   \,\,\,\,\,\,{{y}^{\left( 4 \right)}}=-2048\cos 8x+8\cos 2x \\ \end{align}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(a=s''\), tính đạo hàm cấp cho nhị của hàm số \(s={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t+1\), tiếp sau đó tính \(a\left( 2 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{align}   a=v'=\left( s' \right)'=s'' \\   s'=3{{t}^{2}}-4t+4 \\   s''=6t-4=a \\   a\left( 2 \right)=6.2-4=8\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right) \\ \end{align}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tính những đạo hàm cấp cho một, cấp cho nhị, cấp cho phụ vương và suy đi ra quy luật.

Lời giải chi tiết:

Ta đem \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+1}{-\left( x-1 \right)}=-x-1-\frac{1}{x-1}\)

Có

\(\begin{align}  & f'\left( x \right)=-1+\frac{1!}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};f''\left( x \right)=-\frac{2!}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}},{{f}^{\left( 3 \right)}}=\frac{3!}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}};.... \\  & \Rightarrow {{f}^{\left( 30 \right)}}=-\frac{30!}{{{\left( x-1 \right)}^{31}}}=\frac{30!}{{{\left( 1-x \right)}^{31}}} \\ \end{align}\)

Đáp án B.

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm cấp cho 3 của hàm số tiếp sau đó thay cho \(x=1\) nhập nhằm tính \(f'''\left( 1 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\Rightarrow f''\left( x \right)=\frac{-\left( \sqrt{2x-1} \right)'}{2x-1}=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}}\)

\(\Rightarrow f'''\left( x \right)=\frac{\left( \sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}} \right)'}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{2x-1}}{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=3\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = \dfrac{{u'}}{u}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}} = \dfrac{{{x^2} - 1 + 1}}{{1 - x}} =  - x - 1 + \dfrac{1}{{1 - x}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 1 + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,f''\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\\\,\,\,\,\,f'''\left( x \right) = \dfrac{{2.3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} = \dfrac{{2.3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\.......\\ \Rightarrow {f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{ - 2.3...2018}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} =  - \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} = \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

 Sử dụng côn trùng quan lại hệ: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = s''\left( t \right)\) nhằm tính tốc độ \(a\) bên trên thời khắc \(t\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t;\,\,\,a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t - 6\)

Do cơ bên trên \(t = 3s\) thì \(a = 12m/{s^2}\) (loại A, C)

Tại \(t = 4s\) thì \(a = 18m/{s^2}\) (loại B)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,y'' = \left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Rút gọn gàng biểu thức. Tính \(y''\) và đánh giá từng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}} = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}}\\ = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}} = \sin x + \cos x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \cos x - \sin x,\,\,y'' =  - \sin x - \cos x =  - y\\ \Rightarrow y'' + nó = 0\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính \(y',\,\,y''\) của những hàm số ở từng đáp án tiếp sau đó thay cho nhập đẳng thức đề bài bác cho tới coi đem thỏa mãn nhu cầu hoặc không?

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A tao có:

\(\begin{array}{l}y' = \cos x - x\sin x,\,\,y'' =  - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right) =  - 2\sin x - x\cos x\\ \Rightarrow xy - 2y' + xy'' = {x^2}\cos x - 2\cos x + 2x\sin x - 2x\sin x - {x^2}\cos x =  - 2\cos x\end{array}\)

Vậy đáp án A trúng.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Tính \(f'\left( x \right),\,\,f''\left( x \right) \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right),\,\,g'\left( x \right) \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right)\)

+) Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - x \Rightarrow f''\left( x \right) = 6x - 1 \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right) = 6\sin 5x - 1\\g'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right) = 2\sin 3x - 3\end{array}\)

Ta đem \(\dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \dfrac{{6\sin 5x - 1 + 1}}{{2\sin 3x + 3 - 3}} = \dfrac{{6\sin 5x}}{{2\sin 3x}} = 3\dfrac{{\sin 5x}}{{\sin 3x}}\)

 \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\sin 5x}}{{\sin 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}.5}}{{\dfrac{{\sin 3x}}{{3x}}.3}} = 5\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ dùng thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) bên trên điểm đem hoành chừng \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 \Rightarrow f''\left( x \right) =  - 2x + 4\)

\(f''\left( {{x_0}} \right) = 6 \Leftrightarrow  - 2{x_0} + 4 = 6 \Leftrightarrow {x_0} =  - 1\)

Ta đem \(f'\left( { - 1} \right) =  - 8,\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ dùng thị hàm số bên trên điểm \({x_0} =  - 1\) là \(y =  - 8\left( {x + 1} \right) + \dfrac{{16}}{3} =  - 8x - \dfrac{8}{3}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2.2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow y''\left( 0 \right) =  - 4\end{array}\)

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

 Ta đem \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{1-x}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=-\,1-x+\frac{1}{1-x}\Rightarrow \,\,{f}'\left( x \right)=-\,1+\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-\,1+{{\left( 1-x \right)}^{-\,2}}.\)

Suy đi ra \({f}''\left( x \right)=\,2.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}=2!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}\Rightarrow \,\,{f}'''\left( x \right)=2.3.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}=3!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}.\)

Vậy \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,31}}.\) Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm cơ phiên bản \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: \(y' = 2.3{x^2} = 6x \Rightarrow y'' = 6\).

Xét đáp án B: \(y' = 2x \Rightarrow y'' = 2\).

Xem thêm: 13 lợi ích sức khỏe từ cây bồ công anh

Xét đáp án C: \(y' = 3{x^2} \Rightarrow y'' = 3.2x = 6x\).

Chọn C.