Đạo hàm tanx là một trong những công thức đạo hàm lượng giác khá khó, các em cần hệ thống lại kiến thức một cách bài bản và tham khảo bài viết sau đây của imo2007 để nắm vững nhé.
Đạo hàm của hàm tan x là sec²x. Để hiểu điều này một cách rõ ràng hơn, chúng ta có thể áp dụng một số khái niệm cơ bản về hàm tan x và tiến hành chứng minh.
Trước hết, hãy nhớ rằng hàm tan x trong tam giác vuông định nghĩa là tỷ số giữa cạnh đối diện với góc x và cạnh kề với góc x. Do đó, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng: tan x = (sin x) / (cos x).
Bây giờ, để tính đạo hàm của hàm tan x theo biến số x, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tỷ số hai hàm. Điều này có nghĩa rằng:
d/dx (tan x) = (d/dx) [(sin x) / (cos x)].
Sử dụng các quy tắc đạo hàm hiện có, chúng ta có:
d/dx (tan x) = [(d/dx) (sin x) * (cos x) – (sin x) * (d/dx) (cos x)] / (cos x)².
Bây giờ, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác để tính đạo hàm của sin x và cos x:
(d/dx) (sin x) = cos x (với công thức đạo hàm của sin x)
(d/dx) (cos x) = -sin x (với công thức đạo hàm của cos x).
Thay các giá trị này vào phương trình trước, chúng ta có:
d/dx (tan x) = [(cos x * cos x) – (sin x * (-sin x))] / (cos x)²
d/dx (tan x) = (cos²x + sin²x) / (cos x)².
Sử dụng công thức cơ bản của lượng giác, chúng ta biết rằng sin²x + cos²x = 1. Do đó:
d/dx (tan x) = 1 / (cos x)².
Và chúng ta biết rằng sec x = 1 / cos x, vì vậy:
d/dx (tan x) = sec²x.
Như vậy, ta đã chứng minh rằng đạo hàm của hàm tan x là sec²x.
Nói tóm lại, công thức của đạo hàm tanx là:
d / dx (tan x) = sec²x (hoặc)
(tan x) ‘ = sec²x
Ví dụ của đạo hàm tan x
Để tìm đạo hàm của hàm tan x, chúng ta giả định rằng f (x) = tan x. Sau đó, bằng chứng đạo hàm của nó được cho bởi giới hạn sau đây.
Chứng minh bằng nguyên lý đầu tiên:
Ta có:
f(x + h) = tan(x + h) = (tan x + tan h) / (1 – tan x * tan h)
Suy ra:
[f(x + h) – f(x)] / h = [tan(x + h) – tan x] / h
= [tan x + tan h – tan x] / [h * (1 – tan x * tan h)]
= tan h / [h * (1 – tan x * tan h)]
= [sin h / cos h] / [h * (cos x * cos h – sin x * sin h)]
= [1 / cos x * sin h / cos h] / [h * (1 – tan x * tan h)]
= 1 / cos x * [1 / h – tan x * tan h / h] / [1 – tan x * tan h]
Chứng minh đạo hàm của hàm Tan x
Tính giới hạn để chứng minh đạo hàm tanx
Để tính đạo hàm của hàm tan x, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giới hạn của tỉ số phương sai. Bắt đầu từ định nghĩa của đạo hàm:
f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) – f(x)] / h … (1)
Vì f(x) = tan x, nên ta có f(x + h) = tan (x + h). Thay vào (1), ta có:
f'(x) = limₕ→₀ [tan(x + h) – tan x] / h
= limₕ→₀ [ [sin (x + h) / cos (x + h)] – [sin x / cos x] ] / h
= limₕ→₀ [ [sin (x + h ) cos x – cos (x + h) sin x] / [cos x · cos(x + h)] ]/ h
Sử dụng công thức cộng-trừ, ta có sin A cos B – cos A sin B = sin (A – B). Vậy
f'(x) = limₕ→₀ [ sin (x + h – x) ] / [ h cos x · cos(x + h)]
= limₕ→₀ [ sin h ] / [ h cos x · cos(x + h)]
Sử dụng công thức giới hạn, ta có limₕ→₀ (sin h)/ h = 1. Vậy
f'(x) = 1 [ 1 / (cos x · cos(x + 0))] = 1/cos2x
Ta biết rằng nghịch đảo của cos là sec. Vậy
f'(x) = sec2x.
Chứng minh đạo hàm của Tan x bằng cách áp dụng quy tắc thương
Để tính đạo hàm của hàm Tan x, chúng ta có thể sử dụng quy tắc thương. Đầu tiên, ta biểu diễn Tan x dưới dạng phân số, tức là Tan x = (sin x)/(cos x). Giả sử y = (sin x)/(cos x), sau đó ta áp dụng quy tắc thương.
y’ = [ cos x · d/dx (sin x) – sin x · d/dx (cos x)] / (cos2x)
= [cos x · cos x – sin x (-sin x)] / (cos2x)
= [cos2x + sin2x] / (cos2x)
Sử dụng một trong những công thức định lý Pythagore, cos2x + sin2x = 1. Vậy
y’ = 1 / (cos2x) = sec2x
Có thể tính đạo hàm của hàm Tan x theo x được không?
Đạo hàm của hàm Tan x theo x là bình phương của hàm sec x, tức là d/dx(tan x) = sec2x. Nó cũng có thể được viết dưới dạng (tan x)’ = sec2x
Làm thế nào để tìm công thức đạo hàm của hàm Tan x?
Giả sử y = tan x. Ta có tan x = sin x/cos x. Áp dụng quy tắc phân thức, ta có y’ = [cos x · d/dx(sin x) – sin x · d/dx(cos x)] / (cos2x) = [cos2x + sin2x] / (cos2x) = 1/(cos2x) = sec2x
Đạo hàm của hàm Tanx²?
Chúng ta biết rằng d/dx(tanx) = sec2x. Vì vậy d/dx(tanx²) = sec2x² d/dx(x²) = 2xsec2x² (bằng quy tắc chuỗi).
Đạo hàm của hàm Tanx theo Cosx?
Chúng ta biết rằng đạo hàm của hàm tan x là sec²x. Hơn nữa, secx = 1/(cosx). Vì vậy d/d(tanx) = 1/cos²x.
Đạo hàm của hàm Tan⁻¹x?
Bằng cách sử dụng đạo hàm của hàm tan x và quy tắc chuỗi, d/dx(tan⁻¹x) = sec²x⁻¹ d/dx(x⁻¹) = sec²x⁻¹ (-1 x⁻²) = (-sec²x⁻¹)/(x²).
Xem thêm:
- Mẹo tính nguyên hàm tanx và bài tập vận dụng
- Đạo hàm arctan là gì? Công thức và quy tắc quan trọng cần nhớ
