Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện đua nhập lớp 10

Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất thỏa mãn nhu cầu ĐK cho tới trước được VnDoc tổ hợp và share van gửi cho tới độc giả nằm trong tìm hiểu thêm. Các dạng bài xích luyện dò xét m thông thường bắt gặp trong số đề đua Toán 9 hoặc đề đua tuyển chọn sinh nhập lớp 10. Để nâng lên khả năng giải bài xích những em nằm trong tìm hiểu thêm những dạng việc dò xét m nhằm phương trình đem nghiệm độc nhất tuy nhiên VnDoc tổ hợp sau đây nhé. 

Bạn đang xem: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

I. Hệ phương trình số 1 nhị ẩn

- Hệ phương trình số 1 nhị ẩn đem dạng: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {ax + by = c} \\ 
  {hx + ky = d} 
\end{array}} \right.\left( * \right)

Trong cơ x, nó là ẩn số, những chữ số a, b, h, k, c, d là những hệ số

- Nếu cặp số (x0; y0) bên cạnh đó là nghiệm của tất cả nhị phương trình của hệ phương trình (*) thì tớ gọi (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình (*)

- Giải hệ phương trình (*) tớ tìm kiếm được luyện nghiệm của nó

II. Cách giải việc Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất thỏa mãn nhu cầu ĐK cho tới trước

+ Cách 1: Đặt ĐK nhằm hệ phương trình đem nghĩa (nếu có)

+ Cách 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

+ Cách 3: Giải hệ phương trình dò xét nghiệm (x; y) theo dõi thông số m

+ Cách 4: Thay nghiệm (x; y) vừa vặn tìm kiếm được nhập biểu thức điều kiện

+ Cách 5: Giải biểu thức ĐK nhằm dò xét m, kết phù hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+ Cách 6: Kết luận 

III. Bài luyện ví dụ việc Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất thỏa mãn nhu cầu ĐK cho tới trước

Bài 1: Cho hệ phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\left( {m - 1} \right)x + nó = 2} \\ 
  {mx + nó = m + 1} 
\end{array}} \right. với m là thông số.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với từng độ quý hiếm của m thì hệ phương trình luôn luôn đem nghiệm độc nhất (x; y) thỏa mãn nhu cầu 2x + nó ≤ 3

Lời giải:

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

Thay m = 2 nhập hệ phương trình tớ được:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + nó = 2} \\ 
  {2x + nó = 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + nó = 2} \\ 
  {x = 1} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {y = 1} \\ 
  {x = 1} 
\end{array}} \right.

Vậy khi m = 2 hệ phương trình đem nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút nó kể từ phương trình loại nhất tớ được

y = 2 – (m – 1)x thế nhập phương trình sót lại tớ được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy đi ra nó = 2(m – 1)2 với từng m

Vậy hệ phương trình luôn luôn đem nghiệm độc nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)2)

2x + nó = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)2 = -m2 + 4m – 1 = 3 – (m – 2)2 ≤ 3 với từng độ quý hiếm của m.

Bài 2: Cho hệ phương trình

a, Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất \left\{ \begin{array}{l}
3x + my = 4\\
x + nó = 1
\end{array} \right.

b, Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm x < 0; nó > 0

Lời giải:

a, Để hệ phương trình đem nghiệm độc nhất \Leftrightarrow \frac{3}{1} \ne \frac{m}{1} ⇔ m ≠ 3

b, Với m ≠ 3, hệ phương trình đem nghiệm duy nhất

Theo đề bài xích, tớ có:

\left\{ \begin{array}{l}
3x + my = 4\\
x + nó = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\left( {1 - y} \right) + my = 4\\
x = 1 - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 3y + my = 4\\
x = 1 - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{{m - 3}}\\
x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}}
\end{array} \right.

Để nó > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{m - 3}} > 0 ⇒ m - 3 > 0 ⇔ m > 3

Để x < 0 khi và chỉ khi

\frac{{m - 4}}{{m - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 4 > 0\\
m - 3 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 4 < 0\\
m - 3 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow 3 < m < 4

Xem thêm: bạn cứ yên tâm Tiếng Anh là gì

Vậy với 3 < m < 4 thì hệ phương trình đem nghiệm độc nhất thỏa mãn nhu cầu x < 0 và nó > 0

Bài 3: Tìm m nguyên vẹn nhằm hệ phương trình sau đem nghiệm độc nhất và là nghiệm nguyên: \left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right.

Lời giải:

Với m = 0 hệ phương trình trở nên \left\{ \begin{array}{l}
2y = 1\\
2x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}\\
x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. (loại vì thế những nghiệm nguyên)

Với m không giống 0, nhằm hệ phương trình đem nghiệm duy nhất

\Leftrightarrow \frac{m}{2} \ne \frac{2}{m} ⇔ m2 ≠ 4 ⇔ m ≠ ± 2, kết phù hợp với ĐK m ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 và m ≠ ± 2

Vậy với m ≠ 0 và m ≠ ± 2 thì hệ phương trình đem nghiệm duy nhất

Ta có:

\left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2y = m + 1 - mx\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{m + 1 - mx}}{2}\\
2x + m.\frac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1
\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{m + 1 - mx}}{2} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\\
x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}}
\end{array} \right.

Để x nguyên vẹn \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z

Để nó nguyên vẹn \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z

Vậy nhằm x, nó nguyên vẹn thì m + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Ta đem bảng:

m + 5 -3 -1 1 3
m -5 (tm) -2 (loại) -1 (tm) 1 (tm)

Vậy với  m ∈ {-5; -1; 1} thì hệ phương trình đem nghiệm độc nhất thỏa mãn nhu cầu những nghiệm nguyên

Bài 4: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x + nó = m\\
{x^2} + {y^2} =  - {m^2} + 6
\end{array} \right.. Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm (x; y) sao cho tới biểu thức P.. = xy + 2(x + y) đạt độ quý hiếm nhỏ nhất. Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất cơ.

Lời giải:

\left\{ \begin{array}{l}
x + nó = m\\
{x^2} + {y^2} =  - {m^2} + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + nó = m\\
{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy =  - {m^2} + 6
\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l}
x + nó = m\\
xy = {m^2} - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = m - y\left( 1 \right)\\
{x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.

Để hệ phương trình đem nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) đem nghiệm

⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ -3m2 + 12 0 ⇔ m2 - 4 ≤ 0 ⇔ (m - 2)(m + 2) ≤ 0

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \le 0\\
m + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \le 0\\
m + 2 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow  - 2 \le m \le 2

Vậy với -2 ≤ m ≤ 2 thì hệ phương trình đem nghiệm.

Ta có P = xy + 2 (x + y) = m2 - 3 + 2m = (m + 1)2 - 4 ≥ - 4

Dấu “=” xảy tớ khi m = -1 (thỏa mãn)

Vậy min P.. = -4 khi m = -1

IV. Bài luyện tự động luyện về sự việc Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất thỏa mãn nhu cầu ĐK cho tới trước

Bài 1: Cho hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\
{m^2}x - nó = {m^2} + 2m
\end{array} \right.. Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất sao cho những nghiệm đều nguyên

Bài 2: Cho hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}
mx - nó = 1\\
x + my = m + 6
\end{array} \right.. Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất (x; y) thỏa mãn nhu cầu 3x – nó = 1

Bài 3: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = 18\\
x - nó =  - 6
\end{array} \right.. Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất (x; y) thỏa mãn nhu cầu 2x + nó = 9

Bài 4: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 5\\
mx + nó = 4
\end{array} \right.. Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất (x; y) thỏa mãn nhu cầu x = |y|.

Bài 5: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
2x - nó = 1\\
mx + nó = 5
\end{array} \right.. Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất (x; y) thỏa mãn

a, x và nó trái ngược dấu

b, x và nó nằm trong dương

Bài 6: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\
mx - nó = {m^2} - 2
\end{array} \right.. Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất (x; y) sao cho tới P.. = x.nó đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất

Bài 7: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3 - m\\
2x + nó = 3\left( {m + 2} \right)
\end{array} \right.. Tìm m nhằm hệ phương trình đem nghiệm độc nhất (x; y) sao cho tới A = x2 + y2 đạt độ quý hiếm nhỏ nhất

Xem thêm: 70+ từ vựng về các phòng trong nhà bằng tiếng Anh

-------------------

  • Chuyên đề về Hệ phương trình lớp 9
  • Toán nâng lên lớp 9 Chủ đề 5: Hệ phương trình
  • Các dạng hệ phương trình đặc biệt
  • Chuyên đề 4: Giải bài xích Toán bằng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình

Ngoài những dạng Toán 9 ôn đua nhập lớp 10 bên trên, chúng ta học viên còn rất có thể tìm hiểu thêm tăng Đề đua học tập kì 1 lớp 9 và Đề đua học tập kì 2 lớp 9 tuy nhiên công ty chúng tôi tiếp tục thuế tầm và tinh lọc. Với tư liệu này chung chúng ta tập luyện tăng khả năng giải đề và thực hiện bài xích đảm bảo chất lượng rộng lớn, thông qua đó chung chúng ta học viên ôn luyện, sẵn sàng đảm bảo chất lượng nhập kì đua tuyển chọn sinh lớp 10 tiếp đây. Chúc chúng ta ôn đua tốt! 

Các dạng bài xích luyện Toán 9 ôn đua nhập lớp 10 là tư liệu tổ hợp 5 mục chính rộng lớn nhập công tác Toán lớp 9, bao gồm:

  • Rút gọn gàng biểu thức - Xem tăng Ôn đua nhập lớp 10 mục chính 1: Rút gọn gàng và tính độ quý hiếm của biểu thức
  • Hàm số vật thị - Xem tăng Ôn đua nhập lớp 10 mục chính 5: Hàm số và vật thị
  • Phương trình, hệ phương trình - Xem tăng Ôn đua nhập lớp 10 mục chính 2: Giải phương trình và hệ phương trình số 1 nhị ẩn
  • Giải việc bằng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình - Xem tăng Kỹ năng giải toán bằng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình
  • Hình học - Xem tăng Ôn đua nhập lớp 10 mục chính 10: Chứng minh những hệ thức hình học