Trong thế giới hối hả của chúng ta, có một điểm giao nhau đặc biệt, nơi ba con đường trung trực gặp nhau, tạo nên một sự kết nối độc đáo. Điều này không chỉ là một biểu tượng địa lý, mà còn là một tượng đài văn hóa đưa chúng ta trở về quá khứ và đồng thời mở ra tương lai. Trong bài viết này ACC group sẽ giúp bạn tìm hiểu về giao điểm của 3 đường trung trực.
1. Định lý giao điểm của 3 đường trung trực
Trong một tam giác, ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Định lý này được chứng minh như sau:
-
Xét đường trung trực của cạnh BC, đi qua trung điểm M của cạnh BC.
-
Vì M là trung điểm của cạnh BC nên BM = MC.
-
Mặt khác, đường trung trực vuông góc với cạnh ứng với nó nên góc MBC = 90o.
-
Từ hai điều kiện trên, ta có tam giác MBC là tam giác vuông cân tại M.
-
Do đó, MB = MC = BM/2 = r/2.
-
Tương tự, ta có NA = NB = r/2 và CA = CB = r/2.
-
Vậy, ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua một điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C.
Điểm O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh:
-
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
-
Ta có OA = OB = OC = r.
-
Mặt khác, ta đã chứng minh được rằng O cách đều ba đỉnh A, B, C.
-
Vậy, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Tính chất của giao điểm của ba đường trung trực:
-
Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
-
Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
-
Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm tạo thành một góc bằng 120o.
3. Ứng dụng của giao điểm của ba đường trung trực:
-
Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền.
-
Trong tam giác cân, giao điểm của ba đường trung trực là đỉnh đối xứng với đỉnh của cạnh đáy.
-
Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung trực là tâm của tam giác đều.
4.Bài tập vận dụng
Bài tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh rằng O là trung điểm của cạnh huyền BC.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC vuông tại A. Ta có:
-
AB = AC = √(BC^2 - AC^2) = √(BC^2 - (BC/2)^2) = BC/√2.
-
AM = BM = AB/2 = BC/4.
-
CM = CM = AC/2 = BC/4.
Từ đó, ta có:
-
AO = OB = OC = AM + CM = BC/2.
-
Vậy, O là trung điểm của cạnh huyền BC.
Bài tập 2
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh rằng O là đỉnh đối xứng với đỉnh của cạnh đáy.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC cân tại A. Ta có:
-
AB = AC = BC/2.
-
AM = BM = AB/2 = BC/4.
-
CM = CM = AC/2 = BC/4.
Từ đó, ta có:
-
AO = OB = OC = AM + CM = BC/2.
-
Vậy, O cách đều hai đỉnh A và C.
-
Do đó, O là đỉnh đối xứng với đỉnh của cạnh đáy.
Bài tập 3
Cho tam giác ABC đều. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh rằng O là tâm của tam giác đều.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC đều. Ta có:
-
AB = AC = BC = a.
-
AM = BM = AB/2 = a/2.
-
CM = CM = AC/2 = a/2.
Từ đó, ta có:
-
AO = OB = OC = AM + CM = a.
-
Vậy, O cách đều ba đỉnh của tam giác.
-
Do đó, O là tâm của tam giác đều.
Ngoài ra, còn rất nhiều bài tập vận dụng khác liên quan đến giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.
