Tổng hợp lý thuyết công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác – tìm nguyên hàm của hàm số toán lớp 12

Công thức nguyên vẹn hàm của hàm con số giác – mò mẫm nguyên vẹn hàm của hàm số

1. Một số công thức lượng giác cần thiết nhớ

Hằng đẳng thức lượng giác: ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1;\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=1+{{\cot }^{2}}x;\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=1+{{\tan }^{2}}x$

- Công thức cộng: $\begin{array}  {} \sin \left( a\pm b \right)=\sin a.\cos b\pm \sin b\operatorname{cosb} \\  {} \cos \left( a\pm b \right)=\cos a.\cos b\mp \sin a.\cos b \\  {} \tan \left( a\pm b \right)=\frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a.\tan b} \\ \end{array}$

Bạn đang xem: Tổng hợp lý thuyết công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác – tìm nguyên hàm của hàm số toán lớp 12

- Công thức nhân đôi: $\left\{ \begin{array}  {} \sin 2a=2\sin a\cos a \\  {} \cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}a \\ \end{array} \right.$

- Công thức hạ bậc: ${{\sin }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{2};{{\cos }^{2}}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

- Công thức nhân ba: $\left\{ \begin{array}  {} \sin 3a=3\sin a-4{{\sin }^{3}}a \\  {} \cos 3a=4{{\cos }^{3}}a-3\cos a \\ \end{array} \right.$

- Công thức chuyển đổi tích trở thành tổng: $\cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a+b \right)+\cos \left( a-b \right) \right]$

$\sin .a\sin b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)-\cos \left( a+b \right) \right];\sin a.\cos b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( a+b \right)+\sin \left( a-b \right) \right]$

2. Một số nguyên vẹn dung lượng giác cơ bản

$\begin{array}  {} {{I}_{1}}=\int{\sin xdx=-\cos x+C} \\  {} {{I}_{2}}=\int{\sin \left( ax \right)dx=-\frac{1}{a}\cos \left( ax \right)+C} \\  {} {{I}_{3}}=\int{\cos xdx=\sin x+C} \\  {} {{I}_{4}}=\int{\cos \left( ax \right)dx=\frac{1}{a}\sin \left( ax \right)+C} \\  {} {{I}_{5}}=\int{{{\sin }^{2}}xdx=\int{\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C}} \\  {} {{I}_{6}}=\int{{{\cos }^{2}}xdx=\int{\frac{1+\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C}} \\  {} {{I}_{7}}=\int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}=\tan x+C} \\  {} {{I}_{8}}=\int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}\left( ax \right)}=\frac{1}{a}\tan \left( ax \right)+C} \\  {} {{I}_{9}}=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}\left( ax \right)}=-\cot x+C} \\  {} {{I}_{10}}=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}\left( ax \right)}=-\frac{1}{a}\cot \left( ax \right)+C} \\  {} {{I}_{11}}=\int{\tan xdx=\int{\frac{\sin xdx}{\cos x}=-\ln \left| \cos x \right|+C}} \\  {} {{I}_{12}}=\int{\cot xdx=\int{\frac{\cos xdx}{\sin x}=\ln \left| \sin x \right|+C}} \\  {} {{I}_{13}}=\int{{{\tan }^{2}}x}dx=\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx=\tan x-x+C} \\  {} {{I}_{14}}=\int{{{\cot }^{2}}x}dx=\int{\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right)dx=\cot x-x+C} \\ \end{array}$

3. Các dạng nguyên vẹn dung lượng giác thông thường gặp

Dạng 1: Nguyên hàm $I=\int{{{\sin }^{m}}x.co{{s}^{n}}xdx}$

- TH1: Nếu $m=2k+1\Rightarrow I=\int{{{\sin }^{2k}}x.{{\cos }^{n}}x.\sin xdx}$

$=-\int{{{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}^{k}}.{{\cos }^{n}}xd\left( \cos x \right)\to }$ Đặt $t=\cos x$

- TH2: Nếu $n=2k+1\to $ Đặt $t=\operatorname{s}\text{inx}$

- TH3: Nếu m,n đều chẵn tớ sử dụng công thức hạ bậc

Chú ý: Đối với nguyên vẹn hàm chỉ chứa chấp sinx và cosx dạng.

$I=\int{f\left( \sin x \right)\cos xdx=\int{f\left( \sin x \right)d\left( \sin x \right)\to }}$ Đặt $t=\operatorname{s}\text{inx}$

$I=\int{f\left( \cos x \right)\sin xdx=-\int{f\left( \cos x \right)d\left( \cos x \right)\to }}$ Đặt $t=\cos \text{x}$

Xem thêm: Bé học cách đọc và viết số đếm tiếng Anh từ 1 đến 100

Dạng 2: Nguyên hàm $I=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{m}}x.{{\cos }^{n}}x}}$

- TH1: Nếu $m=2k+1\Rightarrow I=\int{\frac{\sin xdx}{{{\sin }^{2k+2}}x.{{\cos }^{n}}x}=-\int{\frac{d\left( \cos x \right)}{{{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}^{k+1}}.{{\cos }^{n}}x}}}$

Khi cơ tớ đặt: $t=\cos x$

- TH2: Nếu $n=2k+1\to $ tớ bịa đặt $t=\operatorname{s}\text{inx}$

- TH3: Nếu m,n đều chẵn tớ chuyển đổi $\frac{1}{{{\sin }^{m}}x.{{\cos }^{n}}x}=\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{m}}x.{{\cos }^{n}}x}...$

Dạng 3:  Nguyên dung lượng giác của hàm tanx và cotx

Các nguyên vẹn hàm chứa chấp tanx hoặc cotx tớ thông thường sử dụng những hằng đẳng thức

$\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=1+{{\cot }^{2}}x;\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=1+{{\tan }^{2}}x$

Nguyên hàm nhưng mà kiểu mẫu số là sang trọng bậc nhì với sinx và cosx;

$A{{\sin }^{2}}x+B\sin x\cos +C{{\cos }^{2}}x$ thì tớ phân tách cả tử số và kiểu mẫu số mang đến ${{\cos }^{2}}x$

Chú ý: Khi $I=\int{\frac{f\left( \tan \,x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx=\int{f\left( \tan \,x \right)d\left( \tan \,x \right)\to }$ bịa đặt t=tanx

Dạng 4: Nguyên hàm dùng công thức chuyển đổi tích trở thành tổng

$\begin{array}  {} \int{\cos ax.\cos bxdx}=\frac{1}{2}\int{\left[ \cos \left( a+b \right)x+\cos \left( a-b \right)x \right]dx} \\  {} \int{\sin ax.sinbxdx}=-\frac{1}{2}\int{\left[ \cos \left( a+b \right)x-\cos \left( a-b \right)x \right]dx} \\  {} \int{\sin ax.\cos bxdx}=\frac{1}{2}\int{\left[ \sin \left( a+b \right)x+\sin \left( a-b \right)x \right]dx} \\  {} \int{\cos ax.sinbxdx}=\frac{1}{2}\int{\left[ \sin \left( a+b \right)x-\sin \left( a-b \right)x \right]dx} \\ \end{array}$

Xem thêm: Mất điện tiếng anh là gì

Dạng 5: Nguyên hàm $I=\int{\frac{dx}{a\sin x+b\cos x+c}}$

Ta có: $I=\int{\frac{dx}{2a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+b\left( {{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-{{\sin }^{2}}\frac{x}{2} \right)+c\left( {{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{2}}\frac{x}{2} \right)}}$

$\begin{array}  {} \int{\frac{dx}{m{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+n\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+p{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}=\int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}\left( m{{\tan }^{2}}\frac{x}{2}+n\tan \frac{x}{2}+p \right)}}} \\  {} \xrightarrow{t=\tan \frac{x}{2}}I=\int{\frac{dt}{m{{t}^{2}}+nt+p}} \\ \end{array}$

BÀI VIẾT NỔI BẬT


nhân viên tư vấn Tiếng Anh là gì

nhân viên tư vấn kèm nghĩa tiếng anh consultant, và phát âm, loại từ, ví dụ tiếng anh, ví dụ tiếng việt, hình ảnh minh họa và các từ liên quan