Nguyên Hàm Của Hàm Số Lượng Giác

Nguyên dung lượng giác là kiến thức và kỹ năng vô nằm trong cần thiết nhập công tác toán cung cấp 3. Các công thức vẹn toàn dung lượng giác có khá nhiều cường độ, kể từ hàm sơ cung cấp cho tới những công thức hàm hợp ý, Từ đó là thật nhiều dạng bài xích tập dượt không giống nhau. Marathon Education tiếp tục tổ hợp những công thức lượng giác cơ bạn dạng, công thức nguyên dung lượng giác và những dạng bài xích tập dượt áp dụng tương quan qua quýt nội dung bài viết sau.

>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ

Bạn đang xem: Nguyên Hàm Của Hàm Số Lượng Giác

Các công thức lượng giác cần thiết nhớ

\begin{aligned}
&\small\text{1. Hằng đẳng thức lượng giác:}\\
& \ \ \ \ \bull sin^2x+cos^2x=1\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{sin^2x}=1+cot^2x\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x\\
&\small\text{2. Công thức cộng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.cosb\\
& \ \ \ \ \ \bull tan(a\pm b)=\frac{tana \pm tanb}{1\mp tana.tanb}\\
&\small\text{3. Công thức nhân đôi:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin2a=2sina.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\\
&\small\text{4. Công thức nhân ba:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin3a=3sina-4sin^3a\\
& \ \ \ \ \ \bull cos3a=4cos^3a-3cosa\\
&\small\text{5. Công thức hạ bậc:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin^2a=\frac{1-cos2a}{2}\\
& \ \ \ \ \ \bull cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\\
&\small\text{6.Công thức chuyển đổi tích trở nên tổng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.sinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]\\
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức

hoc-thu-voi-gv-truong-chuyen

Bảng công thức vẹn toàn dung lượng giác cơ bản

Công thức tính vẹn toàn dung lượng giác cơ bản

Bảng công thức vẹn toàn dung lượng giác hàm số hợp

Bảng công thức vẹn toàn dung lượng giác hàm số hợp ý u = u(x)

công thức vẹn toàn hàm hàm số hợp ý u = u(x)

Bảng công thức vẹn toàn dung lượng giác hàm số hợp ý u = ax + b

công thức vẹn toàn hàm hàm số hợp ý u = ax + b

>>> Xem thêm: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

6 dạng vẹn toàn dung lượng giác thông thường gặp gỡ và cách thức giải

Các Việc dò xét nguyên dung lượng giác rất rất đa dạng và phong phú và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có được cơ hội chuyển đổi và phía giải không giống nhau. Vì vậy, Marathon Education tiếp tục tổ hợp 6 dạng toán thông thường gặp gỡ nhất và cách thức giải của từng dạng sẽ giúp những em nắm rõ những Việc dạng này.

Dạng 1

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Dùng giống hệt thức:}\\
&1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\\
&\text{Từ bại liệt suy ra:}\\
&I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C
\end{aligned}

Lưu ý

Với những này, tao hoàn toàn có thể tìm kiếm ra những vẹn toàn hàm:

\begin{aligned}
&\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ bởi những người sử dụng giống hệt thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\\
&\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ bởi những người sử dụng giống hệt thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\\
\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính vẹn toàn hàm sau đây:

I=\int \frac{dx}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&1=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{sin\left[\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right]}{\frac{1}{2}}=2\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx  \right]\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=2\int\frac{\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx  \right]}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx\\
&\ \ =2\int \left[\frac{cosx}{sinx}-\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right]dx\\
&\ \ =2\int\frac{d(sinx)}{sinx}-2\int\frac{d\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&\ \ =2ln\left|\frac{sinx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right|+C
\end{aligned}

Dạng 2

I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
& tan(x+a)tan(x+b)\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&=\frac{cos(a-b)}{ cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=cos(a-b)\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Đến trên đây, tao gặp gỡ Việc dò xét vẹn toàn dung lượng giác ở \textbf{Dạng 1}.}
\end{aligned}

Lưu ý

Với những này, tao hoàn toàn có thể tính được những vẹn toàn hàm:

Xem thêm: Máy bay tiếng Anh là gì: Định nghĩa, ví dụ Anh Việt

\begin{aligned}
&\bull J=\int cot(x+a)cot(x+b)dx\\
&\bull K=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính vẹn toàn hàm sau đây:

K=\int tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)dx
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)- cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{sin\left[ \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right]}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{1}{2}.\frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\frac{1}{2}\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx+\int dx\\
&\ \ \  \ =\frac{1}{2}K_1+x+C\\
&\text{Đến trên đây, bằng phương pháp tính ở dạng 1, tao tính được:}\\
&K_1=\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx=\frac{2}{\sqrt3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C\\
&\text{Suy ra:}\\
&K=\frac{\sqrt3}{3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+x+C
\end{aligned}

Dạng 3

I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\\
&\Rightarrow asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\alpha)\\
&\Rightarrow I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int \frac{dx}{sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} ln \left|tan\frac{x+\alpha}{2} \right|+C

\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính vẹn toàn hàm sau:

I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}=\int\frac{dx}{\frac{\sqrt3}{2} sinx+\frac{1}{2}cosx}=\int \frac{dx}{sinxcos\frac{\pi}{6}+cosxsin\frac{\pi}{6}}\\
& \ \ =\int \frac{dx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=ln\left| tan\frac{x+\frac{\pi}{6}}{2} \right|+C=ln\left| tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right) \right|+C
\end{aligned}

Dạng 4

I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
  • Phương pháp giải:
\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}
  • Ví dụ:

Tính vẹn toàn hàm sau đây:

K=\int\frac{dx}{sinx+tanx}
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2t}{1-t^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{1-t^2}{t}dt=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}-\frac{1}{2}\int tdt\\
&\ \ \ = \frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{4}t^2+C= \frac{1}{2}ln\left|tan\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4}tan^2\frac{x}{2}+C
\end{aligned}

Dạng 5

I=\int\frac{dx}{asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x}
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&I=\int\frac{dx}{(atan^2x+btanx+c)cos^2x}\\
&\text{Đặt }tanx=t\Rightarrow \frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\text{Suy ra: }I=\int \frac{dt}{at^2+bt+c}
\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính vẹn toàn hàm bên dưới đây:

J=\int \frac{dx}{sin^2x-2sinxcosx-2cos^2x}
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tanx=t \Rightarrow\frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\Rightarrow J=\int\frac{dt}{t^2-2t-2}=\int \frac{d(t-1)}{(t-1)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{t-1-\sqrt3}{t-1+\sqrt3} \right|+C\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{tanx-1-\sqrt3}{tanx-1+\sqrt3} \right|+C
\end{aligned}

Dạng 6

I=\int\frac{a_1sinx+b_1cosx}{a_2sinx+b_2cosx}dx
  • Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta dò xét A, B sao cho:}\\
&a_1sinx+b_1cosx=A(a_2sinx+b_2cosx)+B(a_2cosx-b_2sinx)
\end{aligned}
  • Ví dụ:

Tính vẹn toàn hàm sau:

I=\int\frac{4sinx+3cosx}{sinx+2cosx}dx
  • Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta dò xét A, B sao cho:}\\
&4sinx +3cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)\\
&\Rightarrow 4sinx+3cosx=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx \Rightarrow\begin{cases} A-2B=4\\
2A+B=3\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} A=2\\B=-1\end{cases} \\
&\text{Từ đó:}\\
&I=\int\frac{2(sinx+2cosx)-(cosx-2sinx)}{sinx+2cosx}dx\\
& \ \ =2\int dx-\int \frac{d(sinx+2cosx)}{sinx+2cosx}\\
& \ \ =2x-ln|sinx+cos2x|+C
\end{aligned}

Bài tập dượt vẹn toàn dung lượng giác

1. Tính vẹn toàn hàm sau

 I=\lmoustache sin^3x.cosx\space dx
\begin{aligned}
& Ta\space có:\space sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3x.d(sinx)\\
& Đặt\space u=sinx\space ta\space được:\\
& I=\lmoustache sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3d(sinx)\\
& u^3du=\frac{u^4}{4}+c=\frac{sin^4x}{4}+C
\end{aligned}

2. Tính vẹn toàn hàm

\intop \frac{cos^5x}{sinx}dx
\begin{aligned}
& \intop \frac{cos^5x}{sinx}dx=\intop \frac{(1-sin^2x)^2dsinx}{sinx}=\intop \bigg( \frac{1}{sinx}-2sinx+sin^3x \bigg)dsinx\\
&ln|sinx|-sin^2x+\frac{sin^4x}{4}+C

\end{aligned}

3. Tính vẹn toàn hàm D

Xem thêm: Danh Từ Trong Tiếng Anh (2024 mới) - EnglishCentral Blog

 D=\intop \frac{dx}{3cosx+5sinx+3}
\begin{aligned}
&Đặt\space tan\frac{x}{2}=t\\
&\rArr \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{cases}\\
& Từ\space đó\space, D=\intop \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3.\frac{1-t^2}{1+t^2}+5\frac{2t}{1+t^2}+3}
=\frac{2dt}{3-3t^2+10+3t+2t^2}=\intop\frac{2dt}{10t+6}\\
&=\frac{1}{5}\intop \frac{d(5t+3)}{5t+3}=\frac{1}{5}ln|5t+3|+C=\frac{1}{5}ln|5tan\frac{x}{2}=3|+C\\

\end{aligned}

Tham khảo tức thì những khoá học tập online của Marathon Education

Trên đó là những công thức nguyên dung lượng giác và những dạng toán thông thường gặp gỡ. Các em hoàn toàn có thể lưu về nhằm hoàn toàn có thể hoàn thành xong bài xích tập dượt về chủ thể này nhanh gọn lẹ và hiệu suất cao rộng lớn. 

Hãy tương tác tức thì với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kiến thức và kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong những bài xích đánh giá và kỳ đua chuẩn bị tới!