Nguyên hàm lượng giác: Công thức tính và bài tập - VUIHOC

1. Bảng công thức tính vẹn toàn dung lượng giác vừa đủ nhất

Bảng công thức vẹn toàn hàm của hàm con số giác là kỹ năng vô nằm trong cần thiết lúc học công tác toán 12, đặc biệt quan trọng nhập phần giải tích. Dưới đấy là toàn cỗ những công thức vẹn toàn dung lượng giác cơ bạn dạng nhất được những em vận dụng nhiều nhập quy trình thực hiện bài xích luyện. 

Bạn đang xem: Nguyên hàm lượng giác: Công thức tính và bài tập - VUIHOC

2. Các dạng vẹn toàn dung lượng giác cơ bản

Dạng 1: Nguyên hàm của $I = sin^{m}xcos^{n}xdx$

• Trường phù hợp 1: Nếu m = 2k + 1 $\Rightarrow I = \int sin^{2k}xcos^{n}x.sinxdx$

$= - \int (1-cos^{2}x)^{k} . cos^{n}xd (cosx) \Rightarrow$ Đặt $t = cosx$

• Trường phù hợp 2: Nếu n = 2k+1 $\Rightarrow$ Đặt $t = sinx$

• Trường phù hợp 3: Nếu m,n đều chẵn tao người sử dụng công thức hạ bậc

Lưu ý: Đối với vẹn toàn hàm chỉ chứa chấp sinx và cosx dạng.

• I = ∫f(sinx) cosxdx =  ∫f(sinx)d(sinx) → Đặt t = sinx

• I = ∫f(cosx) sinxdx = −∫f(cosx) d(cosx) → Đặt t = cosx

Dạng 2: Nguyên hàm $I= \int \frac{dx}{sin^{m}x.cos^{n}x} = \frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x} ....$

• Trường phù hợp 1: 

Nếu m= 2k+ 1 $I= \int \frac{sinxdx}{sin^{2k+2}x}.cos^{n}x = - \int \frac{d(cosx)}{(1 - cos^{2}x)^{k+1}} . cos^{n}x$

Khi cơ tao đặt: $t= cosx$

• Trường phù hợp 2: Nếu n= 2k+ 1 → Đặt $t= sinx$

• Trường phù hợp 3: Nếu m,n đều chẵn tao có: $\frac{dx}{sin^{m}x} . cos^{n}x = \frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x}$

Dạng 3: Nguyên dung lượng giác của hàm tanx và cotx

Các vẹn toàn hàm chứa chấp $tanx$ hoặc $cotx$ tao thông thường người sử dụng những hằng đẳng thức

$\frac{1}{sin^{2}x} = 1+ cos^{2}x ; \frac{1}{cos^{2}x = 1+tan^{2}}x$ 

Nguyên hàm tuy nhiên kiểu mẫu là phong cách bậc 2 với $sinx$ và $cotx$

$Asin^{2}x + Bsinx.cosx + Ccos^{2}x$ thì tao phân tách cả tử và kiểu mẫu mang lại $cos^{2}x$

Dạng 4: Nguyên hàm dùng công thức chuyển đổi tích trở thành tổng

$\int cosax . cosbxdx = \frac{1}{2}\int [cos(a+b)x + cos(a-b)x]dx$

$\int sinax . sinbxdx = \frac{-1}{2}$

$\int [cos(a+b)x-cos(a-b)x]dx$

$\int sinax.cosbxdx= \frac{1}{2} \int [sin(a+b)x+sin(a-b)x]dx$

$\int cosax.sinbxdx = \frac{1}{2} \int [sin(a+b)x - sin(a - b)x]dx$

Dạng 5: Nguyên hàm $I = \int \frac{dx}{asinx + bcosx + c}$

Ta có: $\int \frac{dx}{msin^{2}\frac{x}{2}+nsin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+pcos^{x}\frac{x}{2}} = \int \frac{dx}{cos^{2}\frac{x}{2}(mtan^{2}\frac{x}{2}+ntan\frac{x}{2}+p)} \overset{t=tan\frac{x}{2}}{\rightarrow} I= \int \frac{dt}{mt^{2}+nt+p}$

Các em học viên hoàn toàn có thể xem thêm cỗ tư liệu độc quyền của VUIHOC tổ hợp kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài xích luyện Toán trung học phổ thông Quốc Gia

3. Một số bài xích luyện vẹn toàn dung lượng giác và cách thức giải

Câu 1:  Nguyên hàm của hàm số: nó = 7sinx?

A. 7sinx + C.

B. 7cosx + C.

C. –7cosx + C.

D. Tất cả sai.

Giải

Ta có: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx + C.

Chọn C.

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: nó = 6sinx + 8cosx là:

A. –6cosx - 8sinx + C.

B. 6cosx + 8sinx + C.

C. –6cosx + 8sinx + C.

D. 6cosx - 8sinx + C

Giải

Ta có:

∫(6sinx + 8cosx)dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.

Chọn C.

Câu 3: Tìm vẹn toàn hàm của hàm số nó = 8sinx - 8cosx

A. 8cosx - 8sinx.

B. -8cosx - 8sinx.

C. 8cosx + 8sinx.

D. Tất cả sai.

Giải

Ta có: ∫(8sinx - 8cosx)dx = 8∫sinx dx - 8∫cosx dx = -8cosx – 8sinx

Chọn B.

Câu 4: Tính: I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx

A. cos⁡(x² - x + 1) + c.

B. -2 cos⁡(x² - x + 1) + c.

C. -1/2 . cos⁡(x² - x + 1).

D. -cos⁡(x² - x + 1).

Giải

Ta có: sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1)dx = sin⁡(x² - x + 1).(x² - x + 1)' dx

= sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

Đặt u = x² - x + 1 tao được:

⇒ I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx = ∫sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

I = ∫sinudu = -cosu + C = -cos⁡(x² - x + 1) + c

Chọn D.

Câu 5:

Tính  

A. 3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

B. -3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

C. 4ln|cosx + 2| + 2ln⁡|cosx + 1| + c

D. 2ln|cosx + 2| - 3ln⁡|cosx + 1| + c

Giải:

Câu 6: Tìm vẹn toàn hàm của hàm số nó = x + tan2x

Giải:

Ta có 

Xem thêm: 20+ Cách Chào Hỏi Bằng Tiếng Anh Hay Nhất

Câu 7: Tìm vẹn toàn hàm của hàm số nó = sin7x - 7cos2x + lne

Đăng ký ngay lập tức sẽ được những thầy cô tổ hợp kỹ năng và kiến tạo suốt thời gian ôn thi đua trung học phổ thông sớm ngay lập tức kể từ bây giờ

Câu 8: Nguyên hàm của hàm số

y = 2cos6x - 3sin4x đem dạng F(x) = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?

A. –4

B. 4

C. 2

D. -2

Giải:

Câu 9: Tìm vẹn toàn hàm của hàm số

Giải:

Ta có:

Câu 10: Tìm vẹn toàn hàm sau: $I = \int \frac{2dx}{\sqrt{3}sinx+cosx}$

Giải

Câu 11: Tính vẹn toàn hàm sau: $J= \int\frac{dx}{{cos2x}- \sqrt{3}sin2x}$

Giải

Câu 12: Tìm vẹn toàn hàm sau $I= \int\frac{dx}{3cosx + 5sinx +3}$

Giải

Câu 13: Tính vẹn toàn hàm sau $I= \int\frac{dx}{sin^{2}x + 2sinxcosx 2cos^{2}x}$

Giải

Câu 14: Tính vẹn toàn hàm sau  $I= \int \frac{4sinx+ 3cosx}{sinx+ 2cosx}$

Giải

Bài 15: Tìm vẹn toàn hàm $J= \int\frac{3 cosx- 2 sinx}{cosx-4sinx}dx$

Giải:

Ta dò thám A,B sao cho 

3 cosx- 2 sinx= A(cosx- 4sinx) + B(-sinx-4cosx

Câu 16: Tính vẹn toàn hàm của $I=\int\frac{8cosx}{(\sqrt{3} sinx + cosx)^{2}}dx$

Giải

Câu 17: Tính vẹn toàn hàm $I=\int\frac{8sinx+cosx+5}{(2sinx-cosx+1)}$

Giải

Câu 18: Tính vẹn toàn hàm  $I= \int cos3xcos4xdx$

Giải

Câu 19: Tính vẹn toàn hàm sau $I=\int (sin^{3}x cos3x+cos^{3}xsin3x)dx$

Giải

Câu 20: Tính vẹn toàn hàm sau $I= \int \frac{dx}{sinxcos^{3}x}$

 Giải

Câu 21: Tính vẹn toàn hàm $\int \frac{sin3x. sin4x}{tanx + tan2x}$

Giải

Câu 22: Tính vẹn toàn hàm $\int \frac{dx}{sin^{3}x}$

Giải

Câu 23: Tính vẹn toàn hàm $I= \int \frac{dx}{sinx sin(x+\frac{π}{6})}$

Giải

Câu 24: Tính vẹn toàn hàm của 

$I= \int tanx.tan(\frac{\pi}{3}-x)tan (\frac{\pi}{3}+x)dx $

Giải

Câu 25: Tính vẹn toàn hàm của $I= \int \frac{dx}{sinx(x+\frac{\pi}{6})+cos(x+\frac{\pi}{12})}$

Giải

Để hiểu sâu sắc rộng lớn và thành thục rộng lớn nhập thao tác giải những bài xích luyện vẹn toàn hàm cơ bạn dạng vận dụng giải bài xích luyện vẹn toàn hàm tích phân, những em nằm trong VUIHOC theo dõi dõi bài xích giảng sau đây của thầy Thành Đức Trung nhé!

Sau nội dung bài viết này, kỳ vọng những em đang được tóm vững chắc được toàn cỗ lý thuyết, công thức về vẹn toàn dung lượng giác, kể từ cơ áp dụng hiệu suất cao nhập bài xích luyện. Để được thêm nhiều kỹ năng và những dạng toán hoặc, những em hoàn toàn có thể truy vấn ngay lập tức Vuihoc.vn nhằm ĐK thông tin tài khoản hoặc contact trung tâm tương hỗ để sở hữu được kỹ năng tốt nhất có thể sẵn sàng mang lại kỳ thi đua ĐH tới đây nhé!

>> Xem thêm:

• Tích phân là gì? Phương pháp tính và những dạng toán cơ bản
• Công thức vẹn toàn hàm Inx và cơ hội giải những dạng bài xích tập
• Công thức tính vẹn toàn hàm từng phần và bài xích luyện đem đáp án
• Công thức lượng giác