Hình học 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia CD, lấy một điểm E, gọi F là giao điểm của AE và cạnh BC. Đường thẳng song song với AB kẻ qua F, cắt đoạn thẳng BE tại điểm P. Chứng minh CP là phân giác của góc BCE.

Giải

\(AB//DE \Rightarrow \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CE}}\)

Mà AB = BC nên \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{BC}}{{CE}}\,\,\,\,(1)\)

FP // CE \( \Rightarrow \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{PB}}{{PE}}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{PB}}{{PE}} = \frac{{CB}}{{CE}} \Rightarrow \) CP là tia phân giác góc BCE.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của góc A cắt đường chéo BD tại E và phân giác của góc B cắt đường chéo AC tại F. Chứng minh EF // AB.

Giải

Ta có \(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{ED}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

\(\frac{{FC}}{{FA}} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{FC}}{{FA}}\)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

\(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{FC}}{{FA}} \Rightarrow \frac{{ED}}{{EB - ED}} = \frac{{FC}}{{FA - FC}}\)\( \Rightarrow \frac{{ED}}{{OE}} = \frac{{FC}}{{OF}}\)

\( \Rightarrow {\rm{EF//DC}}\)

Bài 3: Cho tam giác ABC, có cạnh BC cố định, đỉnh A thay đổi nhưng tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}} = k,\) với k là một số thực dương cho trước. Các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A, cắt cạnh BC và cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại các điểm D, E.

1. Chứng minh rằng D, E là hai điểm cố định.

2. Tìm quỹ tích đỉnh A.

Giải

1.  Theo định lí về tính chất của đường phân giác, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = k\\\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = k.\end{array}\)

Các tỉ số \(\frac{{DB}}{{DC}}\) và \(\frac{{EB}}{{EC}}\) bằng k không đổi, hai điểm B, C cố định, suy ra hai điểm D, E chia trong và chia ngoài đoạn thẳng cố định BC theo một tỉ số không đổi nên D và E là hai điểm cố định.

2. AD và AE là các tia phân giác của hai góc kề bù, vậy:

\(AD \bot AE \Rightarrow \widehat {DAE} = {90^0}\)

Điểm A nhìn đoạn thẳng cố định DE dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích  A là đường  tròn đường kính DE (có tâm là trung điểm I của DE và bán kính \(\frac{{DE}}{2}\)).