Để trả lời cho câu hỏi Tứ diện đều là gì? Tính chất và cách tính thể tích tứ diện đều như thế nào?, ..... GiaiToan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu Thể tích tứ diện. Tài liệu giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức Toán 12 cùng với đó là cách áp dụng công thức để làm các dạng bài tâp trắc nghiệm Toán lớp 12 cũng như ôn thi THPT Quốc Gia. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu.

1. Tứ diện đều

Trước khi tìm hiểu tứ diện đều, ta phải hiểu được thế nào là hình tứ diện?

- Tứ diện là hình có bốn đỉnh, thường được kí hiệu A, B, C, D. Bất kì điểm nào trong số các điểm trên được gọi là đỉnh, mặt tam giác đối diện với đỉnh đó được gọi là đáy.

- Ví dụ: Cho tứ diện ABCD nếu chọn B là đỉnh thì (ACD) là mặt đáy.

Tứ diện đều

Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều.

Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều.

Hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

2. Tính chất tứ diện đều

- Cho tứ diện đều ABCD như hình vẽ. Tứ diện đều có đặc điểm như sau:

Tứ diện đều

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB = BC = CD = AD = DC = DB} \\ {{S_{ABC}} = {S_{ABD}} = {S_{BCD}} = {S_{ADC}}} \end{array}} \right.$

- Tứ diện đều có các tính chất như sau:

+ Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.

+ Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.

+ Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180⁰.

+ Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.

+ Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.

+ Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.

+ Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.

+ Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.

+ Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

+ Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.

+ Một tứ diện có ba trục đối xứng.

+ Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

3. Thể tích tứ diện đều

a. Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng:

b. Thể tích khối tứ diện vuông

Giả sử cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc ta được một khối tứ diện vuông. Thể tích của nó là:

4. Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a

Cho tứ diện đều SABC cạnh a. SG là đường cao của hình chóp S.ABC, G thuộc (ABC) thì G sẽ là tâm của tam giác đều ABC. Suy ra:

Chiều cao của hình chóp A.BCD đều cạnh a là: $SG = h = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

5. Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều

Câu 1: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:

A. 4 mặt phẳng	B. 6 mặt phẳng
C. 8 mặt phẳng	D. 10 mặt phẳng

Câu 2: Khối chóp tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng:

A. 4 mặt phẳng	B. 6 mặt phẳng
C. 8 mặt phẳng	D. 10 mặt phẳng

Câu 3: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành:

A. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.

B. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.

C. Các đỉnh của một hình bát diện đều.

D. Các đỉnh của một hình tứ diện.

Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng $a\sqrt 3$ , cạnh bên tạo với đáy một góc 30⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Câu 5: Cho tứ diện đều cạnh $a\sqrt 3$ . Tính thể tích khối tứ diện a.

Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 4a, mặt bên tạo với đáy một góc 45⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3a, AC = 4a, AD = 5a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP theo a

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có $AC = 2a\sqrt 2$ , $AB = CD = DA = DB = BC = 2a$ . Tính thể tích của tứ diện ABCD.

Câu 9: Cho tứ diện đều có thể tích $V = \frac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{4}$ . Tính độ dài các cạnh của tứ diện đó.

------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Bài tập thể tích tứ diện đều sẽ giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về phương trình lượng giác Toán 10, Toán 12. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Một số tài liệu liên quan:

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Một hộp chứa 5 quả cầu đỏ khác nhau và 3 quả cầu xanh khác nhau có bao nhiêu cách chọn ra 2 quả cùng màu?
Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau...
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn?
Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Từ các số của tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau?
Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ
Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Một người có 7 chiếc áo sơ mi, trong đó có 3 chiếc áo sơ mi trắng; có 5 cà vạt trong đó có 2 cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn một chiếc áo và một cà vạt thỏa mãn điều kiện: nếu chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng
Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Xác định x để ba số 1–x; x^2; 1+x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng ngang
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn?
Phương trình lượng giác cơ bản
Một người có 7 chiếc áo sơ mi, trong đó có 3 chiếc áo sơ mi trắng; có 5 cà vạt trong đó có 2 cà vạt màu vàng
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau
Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
Một hộp chứa 5 quả cầu đỏ khác nhau và 3 quả cầu xanh khác nhau có bao nhiêu cách chọn ra 2 quả cùng màu?
Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ.
Đội văn nghệ của một trường có 12 học sinh, gồm 5 em học lớp A, 4 em học lớp B và 3 em học lớp C. Cần chọn ra 4 em đi biểu diễn sao cho 4 bạn này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?