Cấp số nhân lùi vô hạn là gì? Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ví dụ vận dụng và điều giải
Bài này nêu công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và một vài ví dụ vận dụng.
Bạn đang xem: Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và ví dụ áp dụng
Định nghĩa cấp cho số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn với công bội $q \in (-1;1)$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn
Tóm lại, tổng $S$ của cấp cho số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ (với $|q| 1 $) được xem theo gót công thức: $$S=\frac{u_1}{1-q}.$$
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Tính tổng $$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...$$ Lời giải.
$S$ đó là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạn đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.
Áp dụng công thức bên trên tớ được
$$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$$
Minh hoạ và đoán nhận vì như thế hình hình họa
Ví dụ 2. Tính tổng
$$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$$
Lời giải. Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=1; q=-\frac{1}{3}$ nên
$$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.$$
Ví dụ 3. Biểu trình diễn số thập phân vô hạn tuần trả $0,777...$ bên dưới dạng phân số.
Lời giải. Ta với $$0,777...=0,7+0,07+0,007+...\\ =\frac{7}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{7}{10^3} +...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9}.$$ Vậy $0,777...=\dfrac{7}{9}.$
Theo SGK Toán 11. Người đăng: Mr. Math.