Xác suất có điều kiện

1. Định nghĩa:

Xác suất của biến chuyển cố A được xem với ĐK biến cố B đang được xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A. Và kí hiệu là P(A/B).

Bạn đang xem: Xác suất có điều kiện

Thí du: Cho một vỏ hộp kín sở hữu 6 thẻ ATM của Ngân Hàng Á Châu và 4 thẻ ATM của Vietcombank. Lấy tình cờ theo thứ tự 2 thẻ (lấy ko trả lại). Tìm phần trăm nhằm phen loại nhị lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu như biết phen loại nhất đang được lấy được thẻ ATM của Ngân Hàng Á Châu.

Giải: Gọi A là biến chuyển cố “lần loại nhị lấy được thẻ ATM Vietcombank“, B là biến chuyển cố “lần loại nhất lấy được thẻ ATM của ACB“. Ta cần thiết dò la P(A/B).

Sau khi lấy phen loại nhất (biến cố B đang được xảy ra) vô vỏ hộp sót lại 9 thẻ (trong bại 4 thẻ Vietcombank) nên : P(A/B) =  \dfrac{4}{9}

2. Công thức nhân xác suất

a. Công thức: Xác suất của tích nhị biến chuyển cố A và B bởi tích phần trăm của một trong những nhị biến chuyển cố bại với xác suất có điều kiện của biến chuyển cố còn lại:

P(A.B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)

Chứng minh: Giả sử luật lệ test sở hữu n thành quả nằm trong kỹ năng hoàn toàn có thể xẩy ra mA thành quả tiện nghi mang đến A, mB thành quả tiện nghi mang đến B. Vì A và B là nhị biến chuyển cố bất kì, bởi vậy phát biểu công cộng sẽ sở hữu được k thành quả tiện nghi cho tất cả A và B nằm trong bên cạnh đó xẩy ra. Theo khái niệm cổ xưa của phần trăm tao có: P(A.B) =  \dfrac{k}{n};  P(A) = \dfrac{m_A}{n}

Ta chuồn tính P(B/A).

Với ĐK biến chuyển cố A đang được xẩy ra, nên số thành quả nằm trong kỹ năng của luật lệ test so với biến chuyển B là mA, số thành quả tiện nghi mang đến B là k. Do đó:P(B/A) = \dfrac{k}{m_A}

Như vậy: P(A.B) =   \dfrac{k}{n}=  { \dfrac{m_A}{n}}.{ \dfrac{k}{m_A}}  = P(A).P(B/A)

Vì tầm quan trọng của nhị biến chuyển cố A và B như nhau. phẳng phiu cơ hội minh chứng tương tự động tao được: P(A.B) = P(B).P(A/B)♦

(chứng minh bên trên được tìm hiểu thêm kể từ giáo trình Xác suất đo đếm của người sáng tác Hoàng Ngọc Nhậm – NXB Thống Kê)

Ví dụ:

1. Trong vỏ hộp sở hữu đôi mươi nắp khoen bia Tiger, vô bại sở hữu 2 nắp ghi “Chúc mừng chúng ta đang được trúng thưởng xe cộ BMW”. Quý khách hàng được lựa chọn lên rút thăm hỏi theo thứ tự nhị nắp khoen, tính phần trăm nhằm cả nhị nắp đều trúng thưởng.

Giải: Gọi A là biến chuyển cố “nắp khoen đầu trúng thưởng”. B là biến chuyển cố “nắp khoen loại nhị trúng thưởng”. C là biến chuyển cố “cả 2 nắp đều trúng thưởng”.

Khi chúng ta rút thăm hỏi lần thứ nhất thì vô vỏ hộp sở hữu đôi mươi nắp vô bại sở hữu 2 nắp trúng. p(A) = 2/20

Khi biến chuyển cố A đang được xẩy ra thì sót lại 19 nắp vô bại có một nắp trúng thưởng. Do đó: p(B/A) = 1/19.

Từ bại tao có: p(C) = p(A). p(B/A) = (2/20).(1/19) = 1/190 ≈ 0.0053

2. Áo Việt Tiến trước lúc xuất khẩu sang trọng Mỹ nên qua loa gấp đôi đánh giá, nếu như cả nhị phen đều đạt thì cái áo bại mới nhất đầy đủ tiêu xài chuẩn chỉnh xuất khẩu. thạo rằng trung bình 98% thành phầm thực hiện đi ra qua loa được phen đánh giá loại nhất, và 95% thành phầm qua loa được phen đánh giá đầu tiếp tục nối tiếp qua loa được phen đánh giá loại nhị. Tìm phần trăm nhằm 1 cái áo đầy đủ tiêu xài chuẩn chỉnh xuất khẩu?

Giải:

Gọi A là biến chuyển cố ” qua loa được phen đánh giá đầu tiên”, B là biên cố “qua được phen đánh giá loại 2”, C là biến chuyển cố “đủ tiêu xài chuẩn chỉnh xuất khẩu”

Thì: p(C) = p(A). p(B/A) = 0,98.0,95 = 0,931

3. Lớp Lý 2 Sư Phạm sở hữu 95 Sinh viên, vô bại sở hữu 40 phái nam và 55 phái nữ. Trong kỳ ganh đua môn Xác suất đo đếm sở hữu 23 SV đạt điểm chất lượng (trong bại sở hữu 12 phái nam và 11 nữ). Gọi thương hiệu tình cờ một SV vô list lớp. Tìm phần trăm gọi được SV đạt điểm chất lượng môn XSTK, hiểu được SV này đó là nữ?

Giải:

Xem thêm: Tứ diện đều là gì? Tính chất, công thức và bài tập ứng dụng | ReviewAZ

Gọi A là biến chuyển cố “gọi được SV nữ”, B là biến chuyển cố gọi được SV đạt điểm chất lượng môn XSTK”, C là biến chuyển cố “gọi được SV phái nữ đạt điểm giỏi”

Thì tao có: p(C) = P(B/A)

Do đó: p(C) = p(B/A) = \dfrac{p(AB)}{p(A)} = { \dfrac{11}{95}}.{ \dfrac{55}{95}} = { \dfrac{11}{55}} =0,2

b. Các khái niệm về những biến chuyển cố độc lập:

* Định nghĩa 1: Hai biến chuyển cố A và B gọi là song lập nhau nếu như việc xẩy ra hay là không xẩy ra biến chuyển cố này sẽ không thực hiện thay cho thay đổi phần trăm xẩy ra của biến chuyển cố bại và ngược lại.

* Ta hoàn toàn có thể sử dụng định nghĩa xác suất có điều kiện nhằm khái niệm những biến chuyển cố song lập như sau:

Nếu P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) thì A và B song lập với nhau.

Trong tình huống việc biến chuyển cố này xẩy ra hay là không xẩy ra thực hiện mang đến phần trăm xẩy ra của biến chuyển cố bại thay cho thay đổi thì nhị biến chuyển cố bại gọi là dựa vào nhau.

Thí dụ: Trong bình sở hữu 4 ngược cầu white và 5 ngược cầu xanh lơ, lấy tình cờ kể từ bình đi ra 1 ngược cầu. Gọi A là biến chuyển cố “lấy được ngược cầu xanh“. Hiển nhiên P(A) = 5/9 . Quả cầu kéo ra được vứt lại vào trong bình và nối tiếp lấy 1 ngược cầu. Gọi B là biến chuyển cố “lần thứ hai lấy được ngược cầu xanh“, P(B) = 5/9. Rõ ràng phần trăm của biến chuyển cố B không bao giờ thay đổi khi biến chuyển cố A xẩy ra hay là không xẩy ra và ngược lại. Vậy nhị biến chuyển cố A và B song lập nhau.

Ta xem xét rằng: nếu như A và B song lập, thì A , {\overline{B}} hoặc {\overline{A}} , B hoặc {\overline{A}} , {\overline{B}} cũng song lập cùng nhau.

Trong thực tiễn việc nhận thấy tính song lập, dựa vào, xung xung khắc của những biến chuyển cố. đa số phụ thuộc trực quan.

* Định nghĩa 2: Các biến chuyển cố A1, A2, …, An, được gọi là song lập từng song nếu như từng cặp nhị biến chuyển cố ngẫu nhiên vô n biến chuyển cố bại song lập cùng nhau.

Thí dụ: Xét luật lệ test từng đồng xu 3 phen. Gọi Ai là biến chuyển cố: “được mặt mày sấp ở phen tung loại i” (i = 1, 2, 3). Rõ ràng từng cặp nhị vô 3 biến chuyển cố bại song lập cùng nhau. Vậy A1, A2, A3 song lập từng song.

* Định nghĩa 3: những biến chuyển cố A1, A2, …, An, được gọi là song lập từng phần nếu như từng biến chuyển cố song lập với tích của một tổ hợp ngẫu nhiên trong những biến chuyển cố sót lại.

Ta xem xét là những biến chuyển cố song lập từng group thì ko có thể song lập toàn phần. Điều khiếu nại song lập toàn phần mạnh rộng lớn song lập từng song.

c) Hệ quả: Từ quyết định lý bên trên tao hoàn toàn có thể suy đi ra một vài hệ ngược sau đây:

Hệ ngược 1:

Xác suất của tích nhị biến chuyển cố song lập bởi tích phần trăm của những biến chuyển cố đó: P(A.B) = P(A).P(B).

Hệ ngược 2:

Xác suất của tích n biến chuyển cố bởi tích phần trăm của những biến chuyển cố bại, vô bại phần trăm của từng biến chuyển cố tiếp theo đều được xem với ĐK tấc cả những biến chuyển cố trước này đã xảy ra:

P(A_1.A_2 ... A_n) = P(A_1).P(A_2/A_1).P(A_3/A_1.A_2) ... P(A_n/A_{1}...A_{n-1})

Hệ ngược 3:

Xem thêm: Hoàng Hà Mobile - Hệ thống bán lẻ thiết bị di động và công nghệ chính hãng giá tốt

Xác suất của tích n biến chuyển cố song lập toàn phần bởi tích phần trăm của những biến chuyển cố đó:

P(A1.A2 … An) = P(A1).P(A2) … P(An)

Trang: 1 2