Định lý cosin và vận dụng định lí cosin trong tam giác - IMO2007

Định lý cosin, còn được gọi là định lý cosin nhập tam giác, là 1 trong mỗi quyết định lý cần thiết nhập hình học tập tam giác. Nó tương quan cho tới quan hệ trong những cạnh và góc của một tam giác ko góc vuông. Trong nội dung bài viết này, imo2007 tiếp tục với những em dò la hiểu quyết định lý này và áp dụng nó nhập bài bác tập dượt hình tam giác nhé.

Sự thành lập và hoạt động của quyết định lí Cosin

Định lý Cosin được công phụ thân lần thứ nhất tự căn nhà toán học tập Al-Kashi, còn được nghe biết với tên thường gọi là quyết định lý Al-Kashi, nhập thế kỷ 15. Al-Kashi (1380 – 22/06/1429) là 1 căn nhà toán học tập phổ biến người Iran. Định lý Cosin được link trực tiếp với thương hiệu ông, và đó là một trong mỗi góp phần cần thiết của ông cho tới toán học tập.

Bạn đang xem: Định lý cosin và vận dụng định lí cosin trong tam giác - IMO2007

Al-Kashi
Nhà toán học tập Al-Kashi

Khái niệm của quyết định lý Cosin hoàn toàn có thể được hiểu là không ngừng mở rộng của quyết định lý Pythagore. Định lý Pythagore chỉ vận dụng cho tới tam giác vuông, chung tất cả chúng ta dò la chừng nhiều năm cạnh còn sót lại. Trong khi cơ, quyết định lý Cosin không ngừng mở rộng vận dụng cho tới từng tam giác, được chấp nhận tất cả chúng ta xác lập cạnh không đủ hoặc góc phía bên trong tam giác thông thường. Cụ thể, tất cả chúng ta đem thể:

  • Tìm chừng nhiều năm cạnh của tam giác thông thường lúc biết nhì cạnh và góc thân ái bọn chúng.
  • Xác quyết định góc của một tam giác lúc biết những cạnh của tam giác cơ.
  • Tìm chừng nhiều năm cạnh loại phụ thân của một tam giác lúc biết nhì cạnh và góc đối lập với 1 trong các nhì cạnh vẫn biết.

Tóm lại, quyết định lý Cosin là 1 dụng cụ uy lực nhập hình học tập tam giác, chung tất cả chúng ta tìm hiểu những quan hệ phức tạp trong những cạnh và góc của tam giác thông thường, không chỉ là số lượng giới hạn nhập tình huống tam giác vuông như quyết định lý Pythagore.

Định lý Cosin được dùng nhằm tính chừng nhiều năm của một cạnh của tam giác lúc biết chừng nhiều năm của nhì cạnh không giống và góc thân ái bọn chúng.

Định lý Cosin đem dạng:

c² =a² +b²−2ab.cos(C)

Trong đó:

  • là chừng nhiều năm của cạnh đối lập góc .
  • là chừng nhiều năm của nhì cạnh không giống, ko cần cạnh đối lập góc .
  • là độ quý hiếm của hàm cosin của góc (được tính theo gót độ).

Định lý cos được màn trình diễn tương tự động cho tới nhì cạnh còn lại:

a² =b² +c²−2bc.cos(A)

b² =a² +c²−2ac.cos(B)

Định lý Cosin hoàn toàn có thể được dùng trong vô số nhiều trường hợp không giống nhau nhằm đo lường và tính toán những độ quý hiếm nhập tam giác ko góc vuông, ví như tính chừng nhiều năm cạnh, tính diện tích S, và nhiều phần mềm không giống.

Vận dụng định lý cosin nhập tam giác

Cho tam giác ABC, đem AB = c, BC = a, AC = b, M là trung điểm BC. Tính chừng nhiều năm lối trung tuyến AM theo gót a, b và c.

Xem thêm: Tứ diện đều là gì? Tính chất, công thức và bài tập ứng dụng | ReviewAZ

Phân tích bài bác toán:

Bài toán đòi hỏi tất cả chúng ta tính chừng nhiều năm của đoạn trực tiếp AM, và cách thức thông thường được vận dụng nhằm tính đoạn trực tiếp này là coi nó như là 1 cạnh của một hình giác này cơ.

định lý cosin

Theo cơ, đem nhì lựa lựa chọn cho tới bọn chúng ta: tất cả chúng ta hoàn toàn có thể coi AM là cạnh của tam giác ABM, hoặc coi nó là cạnh của tam giác ACM. Do nhì tam giác này đều phải sở hữu tầm quan trọng cần thiết và tương tự nhau, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể lựa lựa chọn ngẫu nhiên loại này nhập nhì tam giác này. Tôi tiếp tục lựa chọn vận dụng tam giác ACM.

Xét tam giác ACM, theo gót phương pháp cộng đồng, nhằm tính cạnh AM tao cần phải biết nhì cạnh còn sót lại là AC, CM và góc xen thân ái nhì cạnh này đó là C. Dễ thấy AC=b theo gót fake thiết, còn CM = a/2 tự M là trung điểm của BC, tuy nhiên thiệt không mong muốn là tao không biết góc C! Như vậy, nếu như tính được góc C thì AM tiếp tục tính được nhờ quyết định lý Côsin.

định lý cosin

Nhận xét rằng, mong muốn tính góc nhập tam giác tao cần phải biết phụ thân cạnh của tam giác cơ. Do cơ, ko thể xét tam giác ACM nhằm tính góc C được, vì như thế tam giác này vẫn đang còn thiếu thốn cạnh AM nhưng mà tao cần thiết tính.

Nhưng, hay thấy rằng góc C của tam giác ACM cũng chính là góc C của tam giác ABC. Trong khi tam giác ABC vẫn đem cả 3 cạnh, vậy vận dụng hệ trái ngược của quyết định lý Côsin tao tiếp tục tính được góc C.

định lý cosin

Thay (2) nhập (1), rồi rút gọn gàng tao đem kết quả

Xem thêm:

định lý cosin

Trên đó là lý thuyết về quyết định lí cosin và áp dụng của chính nó nhập giải bài bác tập dượt tam giác. Các em hoàn toàn có thể kế tiếp ôn luyện dạng bài bác tập dượt này nhập sách bài bác tập dượt toán cũng tựa như những dạng đề đua cũ nhé.

Xem thêm: Trọng Tâm của Tam Giác: Định Nghĩa và Vị Trí Trong Hình Học