Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Nguyên hàm là một trong trong mỗi chuyên mục cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện nay nhiều trong những kì đua ĐH. Vậy sở hữu những công thức vẹn toàn hàm cần thiết này cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và mò mẫm nắm rõ rộng lớn về bảng công thức vẹn toàn hàm kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải bài bác luyện vẹn toàn hàm phổ cập qua quýt nội dung bài viết sau đây.

>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập

Bạn đang xem: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Nguyên hàm là gì?

Trước khi, chuồn sâu sắc vô mò mẫm hiểu công thức về vẹn toàn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa vẹn toàn hàm cũng tựa như những đặc điểm và tấp tểnh lý tương quan.

Định nghĩa vẹn toàn hàm

Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm này hàm số F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K rất có thể là khoảng chừng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).

Kí hiệu vẹn toàn hàm của hàm số f(x) là:

\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)

Định lý vẹn toàn hàm

3 tấp tểnh lý của vẹn toàn hàm là:

• Định lý 1: Giả sử F(x) là một trong vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K. Khi cơ, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong vẹn toàn hàm của f(x).
• Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là một trong vẹn toàn hàm của hàm số f(x) thì từng vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K đều phải có dạng F(x) + C, với C là một trong hằng số tùy ý. 
• Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều phải có vẹn toàn hàm.

Tính hóa học vẹn toàn hàm

 3 đặc điểm cơ bạn dạng của vẹn toàn hàm được thể hiện nay như sau: 

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số sở hữu vẹn toàn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\ 
&\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\
&\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) sở hữu đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\
&\footnotesize\bull\text{Tích của vẹn toàn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\
&\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của vẹn toàn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx
\end{aligned}

Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ bạn dạng, không ngừng mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng vẹn toàn hàm đều phải có những công thức riêng rẽ. Những công thức này đã và đang được tổ hợp trở thành những bảng sau đây nhằm những em đơn giản dễ dàng phân loại, ghi lưu giữ và vận dụng đúng mực.

Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ bản

Bảng công thức vẹn toàn hàm phanh rộng

Bảng công thức vẹn toàn hàm nâng cao

Bảng vẹn toàn hàm hàm con số giác

2 cách thức giải bài bác luyện vẹn toàn hàm phổ biến

Phương pháp thay đổi trở nên số

Đây là cách thức được dùng thật nhiều khi hương nguyên hàm. Vì vậy, những em rất cần phải nắm rõ cách thức này nhằm giải những việc vẹn toàn hàm thời gian nhanh và đúng mực rộng lớn.

Phương pháp thay đổi trở nên loại 1:

Cho hàm số u = u(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K, hắn = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

 ∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

Cách giải: 

Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhì vế: dt = φ'(t)dt.

Sau cơ, biến hóa biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp thay đổi trở nên loại 2: Khi đề bài bác mang lại hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là một trong hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và sở hữu đạo hàm là φ'(t). Lúc này: 

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhì vế: dx = φ'(t)dt.

Thực hiện nay trở nên đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp vẹn toàn hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu nhì hàm số u(x) và v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K thì: 

\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)

Cách giải: 

Trước không còn, những em cần thiết biến hóa tích phân trước tiên về dạng:

I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx

Tiếp theo dõi, đặt: 

\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}

Lúc này thì những em tiếp tục có:

\smallint udv=uv-\smallint vdu

Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán rõ ràng nhưng mà những em vận dụng cách thức sao mang lại thích hợp.

Các dạng vẹn toàn hàm từng phần thông thường gặp

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất

Bài luyện về công thức vẹn toàn hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu khái niệm vẹn toàn hàm của hàm số mang lại trước f(x) bên trên một khoảng chừng.

b. Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần là gì? Đưa rời khỏi ví dụ minh họa mang lại phương pháp tính tiếp tục nêu.

Hướng dẫn giải bài bác tập:

a. Xét hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên luyện xác lập D.

Hàm số Y = F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số hắn = f(x) bên trên D khi Y = F(x) vừa lòng ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: 100+ từ vựng tiếng Anh chuyên ngành báo chí phổ biến

b.

Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần được khái niệm như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên D, khi cơ tao sở hữu công thức:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv

Ví dụ minh họa: Tính vẹn toàn hàm của hàm số A = ∫xe^xdx

Lời giải:

\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=e^xdx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=e^x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi cơ, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C
\end{aligned}

Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài: 

a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]

b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ rõ ràng.

Hướng dẫn giải bài bác tập:

a. Xét hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là vẹn toàn hàm của f(x) bên trên [a;b]

Khi cơ, tích phân cần thiết mò mẫm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

b. Tính hóa học của tích phân:

\begin{aligned}
&\intop^a_bf(x)dx=0\\
&\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\
&\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\
&\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\
&\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx
\end{aligned}

Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

Tìm vẹn toàn hàm của những hàm số tiếp tục mang lại bên dưới đây:

\begin{aligned}
&a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\
&b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\
&c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\
&d. f(x)=(e^x-1)^3
\end{aligned}

Hướng dẫn giải bài bác tập:

a. Ta có:

(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1

Suy ra

\begin{aligned}
\small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\
&\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C
\end{aligned}

b. Ta có:

\begin{aligned}
\small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x
\end{aligned}

Suy ra:

\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C

c. Ta có:

\begin{aligned}
\small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\
&=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ 
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x}
\end{aligned}

Suy ra:

\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\
&=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\
&=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\
\end{aligned}

d. Với bài bác luyện này, những em rất có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính vẹn toàn hàm mang lại từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn rất có thể dùng cơ hội bịa đặt ẩn phụ nhằm giải mò mẫm vẹn toàn hàm như sau: 

Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx

Ta có:

\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\
&=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\
&=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\
&(Với\ C' = C-1)
\end{aligned}

Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài: 

Tính một số trong những vẹn toàn hàm sau:

\begin{aligned}
&a)\int(2-x).sinxdx\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\
&f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx}
\end{aligned}

Hướng dẫn giải bài bác tập:

\begin{aligned}
&\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\
&\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\
&\int(2-x)sinxdx\\
&=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\
&=(x-2)cosx-sinx +C\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\
&=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\
&=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\
&c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\
&=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\
&=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\
&=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\
&=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\
&e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\
&=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\
&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\
&g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\
&=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\
&=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C
\end{aligned}

Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4

Đề bài:

Cho những số vẹn toàn a và b thỏa mãn

\begin{aligned}
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb
\end{aligned}

Hãy tính tổng P.. = a + b

Hướng dẫn giải bài bác tập:

\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=lnx
\\
dv=(2x+1)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=\frac1xdx
\\
v=x^2 +x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi cơ, } 
\\
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx
\\
& \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx
\\
& \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx
\\
& \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1
\\
& \small = 6ln2 - (4 - \frac32)
\\
& \small = -4 + \frac32 + ln64
\\
& \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc cơ. P.. = a + b = 60.} 
\end{aligned}

Đề đua test Sở Giáo Dục Bình Thuận

Đề bài:

Cho hàm số F(x) là vẹn toàn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:

Hướng dẫn giải bài bác tập:

Đối với dạng bài bác nâng lên này, những em tiếp tục phối kết hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.

Xem thêm: Cách cảm ơn và phản hồi trong tiếng Anh - Moon ESL

\begin{aligned}
& \small \text{Đặt n = x + 1, khi đó: }
\\
& \small K = \intop_0^3 xf(x)dx
\\
& \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1)
\\
& \small = \intop_3^0 F(n)dn
\\
& \small =1
\\
& \small \text{Kế tiếp, tao bịa đặt }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=f(x)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=F(x)
\end{cases}
\\
& \small \text{Lúc đó: }
\\
& \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8
\end{aligned}

Tham khảo tức thì những khoá học tập online của Marathon Education

Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education tiếp tục share cho tới những em lý thuyết cơ bạn dạng về vẹn toàn hàm, bàng vẹn toàn hàm cơ bạn dạng và không ngừng mở rộng và những công thức vẹn toàn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức vẹn toàn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và canh ty áp dụng bọn chúng nhằm giải bài bác luyện một cơ hội nhanh gọn lẹ. 

Hãy tương tác tức thì với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong những bài bác đánh giá và kỳ đua chuẩn bị tới!