Câu 1.Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$
A. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{3}{4}.$ |
B. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{3}.$ |
C. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{2}.$ |
D. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{4}.$ |
Giải. Ta có $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}.$
Chọn đáp án D.
Câu 2.Cho khối chóp $S.ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$
A. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{3}{4}.$ |
B. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{8}.$ |
C. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{2}.$ |
D. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{4}.$ |
Giải. Ta có $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.
A. $\dfrac{V}{3}.$ |
B. $\dfrac{3V}{8}.$ |
C. $\dfrac{V}{6}.$ |
D. $\dfrac{V}{4}.$ |
Giải.Ta có ${{V}_{A.BMNC}}=\dfrac{x+y+z}{3}V=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+0}{3}V=\dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D.
A. $18.$ |
B. $12.$ |
C. $14.$ |
D. $15.$ |
Giải. Gọi $E=AM\cap {A}'B;F=AN\cap {A}'C.$ Ta có mặt phẳng $\left( AMN \right)$ và $\left( {A}'BC \right)$ chia khối lăng trụ đã cho thành bốn khối đa diện là ${A}'AEF,ABCEF,BMNCEF,{A}'{B}'{C}'MEFN.$
Theo Thales có $\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{EB}{E{A}'}=\dfrac{BM}{A{A}'}=\dfrac{1}{2};\dfrac{FN}{FA}=\dfrac{FC}{F{A}'}=\dfrac{CN}{A{A}'}=\dfrac{1}{2}$
Do đó ${{V}_{{A}'AEF}}=\dfrac{{A}'E}{{A}'B}.\dfrac{{A}'F}{{A}'C}{{V}_{{A}'ABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}V=4$ và \[{{V}_{ABCMN}}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{BM}{B{B}'}+\dfrac{CN}{C{C}'} \right)V=\dfrac{1}{3}V=9\]
\[\Rightarrow {{V}_{{A}'{B}'{C}'MEFN}}=V-\left( {{V}_{ABCMN}}+{{V}_{{A}'AEF}} \right)=27-\left( 9+4 \right)=14.\] Chọn đáp án C.
*Các em xem lại Bài giảng Công thức tỷ số thể tích (Simson) và Công thức tính nhanh tỷ số thể tích khoá PRO X.
A. $2{{a}^{3}}.$ |
B. $3{{a}^{3}}.$ |
C. $\dfrac{11}{3}{{a}^{3}}.$ |
D. $\dfrac{9}{4}{{a}^{3}}.$ |
Giải. Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=\dfrac{AA}{A{A}'}=0,y=\dfrac{BM}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{CN}{C{C}'},t=\dfrac{DP}{D{D}'}=\dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+t\Leftrightarrow 0+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=\frac{3}{4}.$
Khi đó ${{V}_{AMNPBCD}}=\dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.
Giải. Ta có $x=\dfrac{SA}{SA}=1,y=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{SN}{SC},t=\dfrac{SP}{SD}=\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}\Rightarrow 1+\dfrac{1}{z}=2+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{5}.$
Do đó ${{V}_{S.AMNP}}=\dfrac{xyzt}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)V=\dfrac{7}{30}V\Rightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=\dfrac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành và \[M\] là trung điểm của cạnh bên \[SC\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa \[AM\] và song song với \[BD\], mặt phẳng \[\left( P \right)\] cắt \[SB\] và \[SD\] lần lượt tại \[{B}'\] và \[{D}'\]. Tỷ số \[\dfrac{{{V}_{S.A{B}'M{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}\] bằng
A. \[\dfrac{1}{6}.\] |
B. \[\dfrac{2}{3}.\] |
C. \[\dfrac{1}{3}.\] |
D. \[\dfrac{3}{4}.\] |
Giải. Đặt $x=\dfrac{SA}{SA}=1;y=\dfrac{S{B}'}{SB};z=\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2};t=\dfrac{S{D}'}{SD}$ thì $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=3$
Và $\dfrac{{{V}_{S.A{B}'M{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{4}xyzt\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{3}{4}yt$
Ta có $BD||\left( A{B}'M{D}' \right)\Rightarrow \left( A{B}'M{D}' \right)\cap \left( SBD \right)={B}'{D}'||BD\Rightarrow y=t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.A{B}'M{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{3}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành và có thể tích là \[V\]. Điểm \[P\] là trung điểm của \[SC\], một mặt phẳng qua \[AP\] cắt các cạnh \[SB\] và \[SD\] lần lượt tại \[M\] và \[N\]. Gọi \[{{V}_{1}}\] là thể tích khối chóp \[S.AMPN\]. Giá trị nhỏ nhất của \[\dfrac{{{V}_{1}}}{V}\] bằng
A. \[\dfrac{1}{3}.\] |
B. \[\dfrac{2}{3}.\] |
C. \[\dfrac{1}{8}.\] |
D. \[\dfrac{3}{8}.\] |
Giải. Đặt $x=\dfrac{SA}{SA}=1;y=\dfrac{SM}{SB};z=\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{1}{2};t=\dfrac{SN}{SD}$ thì $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=3$
Và $\dfrac{{{V}_{S.AMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{4}xyzt\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{3}{4}yt$
Ta có $3=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{y}\dfrac{1}{t}}\Rightarrow yt\ge \dfrac{4}{9}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{3}{4}yt\ge \dfrac{1}{3}.$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi ${V}'$ là thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $\dfrac{{{V}'}}{V}.$
A. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{8}{27}.$ |
B. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{1}{27}.$ |
C. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{4}{27}.$ |
D. $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{4}{9}.$ |
Giải. Gọi ${A}',{B}',{C}',{D}'$ lần lượt là trọng tâm các mặt $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC);$ Ta có $\dfrac{{A}'{B}'}{AB}=\dfrac{{A}'{C}'}{AC}=\dfrac{{A}'{D}'}{AD}=\dfrac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}'$ đồng dạng với khối tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{3}.$
Do đó $\dfrac{{{V}'}}{V}={{k}^{3}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}.$ Chọn đáp án B.
Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy để lại Bình luận trong phần Bình luận ngay bên dưới Bài viết này Vted sẽ gửi cho các bạn
>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn
TẢI VỀ BÀI VIẾT FULL CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỶ SỐ THỂ TÍCH TẠI VTED.VN
Link nội dung: https://cuongthinhcorp.com.vn/cong-thuc-tinh-the-tich-khoi-lang-tru